원의 접선의 길이 및 공통접선의 길이

■원의 접선의 길이

그림과 같이 원 밖의 점 P에서 원에 그은 접선이 원과 만나는 점을 T라 할 때, 선분 PT의 길이를 접선의 길이라 한다.

원의 접선이 원의 중심과 접점을 지나는 직선에 수직이므로 이므로 삼각형 CTP는 ∠T=90도 인 직각삼각형이다.

따라서 피타고라스 정리에 의하여

즉 

임을 알 수 있다.

이 때, 선분 CP의 길이는 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 구하고, 선분 CT는 원의 반지름임을 이용하면 접선의 길이 선분 PT를 구할 수 있다. 이 때, 원 밖의 점에서 원에 그을 수 있는 접선은 2개이고 두 접선의 길이는 항상 같으므로 접선의 길이를 구할 때 한 접선에 대하여 생각하고 해결하면 된다.

■공통접선

두 원에 동시에 접하는 직선을 공통접선이라 한다. 이 때 두 원이 공통접선에 대하여 같은 쪽에 있으면 그 접선을 공통외접선이라 하고, 서로 반대쪽에 있으면 그 접선을 공통내접선이라 한다.

두 원의 위치 관계에 따른 공통접선의 개수는 다음과 같다.

1. 한 원이 다른 원의 외부에 있을 때

공통외접선 : 2개, 공통내접선 : 2개

2. 두 원이 외접할 때

▷ 공통외접선 : 2개, 공통내접선 1개

3. 두 언이 서로 다른 두 점에서 만날 때

▷ 공통외접선 :2개, 공통내접선 : 0개

4. 두 원이 내접할 때

▷ 공통외접선 : 1개, 공통내접선 : 0개

5. 한 원이 다른 원의 내부에 있을 때

▷ 공통접선 : 0개

6. 두 원의 중심이 같을 때

▷ 공통접선 : 0개

 

따라서 두 원의 공통접선의 개수에 따라 두 원의 위치관계를 다음과 같이 나타낼 수 있따.

(1) 공통접선이 4개 ⇔ 한 원이 다른 원의 외부에 있다.

(2) 공통접선이 3개 ⇔ 두 원이 외접한다.

(3) 공통접선이 2개 ⇔ 두 원이 서로 다른 두 점에서 만난다.

(4) 공통접선이 1개 ⇔ 두 원이 내접한다.

(5) 공통접선이 0개 ⇔ 한 원이 다른 원의 내부에 있다. (중심이 같을 때 포함)

 

■ 공통접선의 길이

두 원의 공통접선의 두 접점 사이의 거리를 공통접선의 길이라고 한다.

공통접선의 길이를 구할 때 원의 접선의 길이 구하듯이 직각삼각형을 만들어 피타고라스 정리를 이용하여 해결한다. 공통접선의 길이는 다음과 같은 단계로 풀면 된다.

[1단계] 공통접선을 이동하여 직각삼각형을 만든다.

[2단계] 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 적용하여 공통접선의 길이를 구한다.

 

1. 공통외접선의 길이

2. 공통내접선의 길이

공통외접선과 공통내접선의 길이를 직각삼각형을 만들고 피타고라스를 이용하여 길이를 구하면 쉽게 해결할 수 있습니다.