디오판토스(Diophantus)

디오판토스(Diophantus)

 

대수의 발전에서 대단히 중요하고 또 그 이후의 유럽 수론학자들에게 깊은 영향을 준 사람이 바로 알렉산드리아의 디오판토스(Diophantus)이다. 헤론처럼 디오판토스도 그 출생시기와 장소가 분명하지 않다. 물론 그가 헤론과 동시대인일 것이라는 약간의 증거가 있긴 하지만 대부분의 역사학자들은 그를 3세기경의 인물로 보는 경향이 있다.

< 그리스 명시선집>에도 그의 생애에 대한 풍자적 문제가 있긴 하지만 그가 알렉산드리아에서 활약했다는 사실 이외에는 어떤 것도 확실하게 전해 내려온 것이 없다.

디오판토스에게는 세 개의 저작이 있는데 그것은 다음과 같다.

    <산학, Arithmetica>

    <다각수에 관하여, On Polygonal Numbers>

    <계론, Porisms>

< 산학>은 디오판토스의 가장 중요한 저술로서 모두 13권의 책으로 되어 있으나 그중 여섯 권만이 현존하고, <다각수에 관하여>는 단지 일부만이 현존해 있으며 <계론>은 분실되고 말았다.  

<산학>은 대수적 수론을 해석적 논법으로 쓴 책으로서 디오판토스를 이 분야에서 천재로 만들어준 책이다. 이 저작의 현존하는 부분은 약 130여 개의 다양한 문제의 해를 다루고 있으나 대체로 1차 또는 2차방정식과 관계된 것이다. 매우 특별한 3차방정식 문제도 하나 풀려 있다. 제Ⅰ권은 미지수가 하나인 정 방정식에 관한 문제를 다루고 있고 나머지 책에서는 두 개 또는 세 개의 미지수를 갖는 2차 또는 종종 고차의 부정 방정식에 관한 문제를 다루고 있다. 그러나 놀라운 것은 이들이 일반적인 해법으로 풀리는 것이 아니라 각 문제마다 그때 그때 특별한 방법으로 해가 구해지고 있다는 사실이다. 디오판토스도 단지 양의 유리해 만을 인정하고 있고 대부분의 경우에 하나의 답만으로 만족했다.

단지 유리해만을 구하는 부정 대수문제는 흔히 디오판토스문제로 일컬어져 왔다. 현대에 와서는 해의 조건을 정수로 제한 하는 경우도 있다. 그러나 디오판토스가 이러한 종류의 문제를 처음 만든 것은 아니다. 더구나 그가 부정방정식을 푼 최초의 인물도 아니고 2차방정식을 기하하적이 아닌 방법으로 처음 푼 것도 아니었다. 그러나 그가 생략속기법의 대수적 표기를 이용한 최초의 인물이었음은 틀림없다.

디오판토스는 미지수, 미지수의 6승까지의 멱, 뺄셈, 등식, 역수 등에 대하여 생략포기를 사용했다. 그는 살았던 그리스 시대에는 주로 기하학만이 연구되었고 산수와 대수가 분리되지 않은 상태였다.

디오판토스가 약자(또는 문자)를 도입함으로써 대수는 산수로부터 확실하게 구분되어 갈라지게 된다. 두 학문의 가장 큰 차이점은 바로 구분되어 갈라지게 된다. 두 학문의 가장 큰 차이점은 바로 문자의 사용 여부이다. (또 하나는 음수를 수로 인정하느냐 하는 점이다.)

디오판토스의 이러한 공로와 수학에 대한 열정을 문제 하나로 대신한 그의 묘비명은 참으로 멋진 생각이 아닐 수 없다. 

지나가는 나그네여.
이 비석 밑에는 디오판토스가 잠들어 있노라. 그는 일생의 1/6 은 소년으로, 1/12 은 청년으로, 그 후 일생의 1/7 은 혼자살다가 결혼한 지 5년 후에 아들을 낳았노라. 그의 아들은 아버지 생애의 1/2 만큼 살다가 죽었으며, 아들이 죽은지 4년 후에 그는 일생을 마쳤노라.