원에 내접하는 사각형의 성질

■ 원에 내접하는 사각형의 성질

 

1. 원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180° 이다.

 

원 O에 내접하는 □ABCD에서 두 원주각 ∠BAD와 ∠BCD에 대한 중심각을 각각 ∠x, ∠y 라고 하자.

한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 1/2이므로

이다. 그런데

이므로 ∠A+∠C=180° 이다.

마찬가지로 ∠B+∠D=180° 이다.

원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 180°이다.

 

2. 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°인 사각형은 원에 내접한다.

 

□ABCD에서

∠B+∠D=180° -----①

라고 하자.

세 점 A, B, C를 지나는 원 O에서 위 그림과 같이 호 AC 위에 있는 점 E를 잡으면 □ABCE는 원 O에 내접하므로

∠B+∠E=180° -----②

①, ②에서 ∠D = ∠E이므로 네 점 A, C, D, E는 원 O 위에 있다.

따라서 사각형 ABCD는 원 O에 내접한다.

 

한 쌍의 대각의 크기의 합이 180° 인 사각형은 원에 내접한다.

 

▶ 정리

(1) 원에 내접하는 사각형의 성질

① 한 쌍의 대각의 크기의 합은 180° 이다.

⇒ ∠A+∠C=180°

∠B+∠D=180°

② 한 외각의 크기는 그 내대각의 크기와 같다.

⇒ ∠DCE=∠A

(2) 사각형이 원에 내접하기 위한 조건

① 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°인 사각형은 원에 내접한다.

② 한 외각의 크기가 그 내대각의 크기와 같은 사각형은 원에 내접 한다.

 

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