헤론의 공식 증명

헤론의 공식

는 삼각형의 결정조건 SAS에 대응하는 공식이고 는 삼각형의 결정조건 ASA에 대응하는 공식이다. 그러면 삼각형의 결정조건 SSS에 대응하는 삼각형의 넓이를 구하는 공식은 무엇일까?

기원전 1 세기경 알렉산드리아 수학자로 고대 바빌로니아와 이집트의 실용수학의 전통을 이어받은 헤론(Heron :10년경~70년)은 삼각형의 세 변의 길이를 알 때 삼각형의 넓이를 구하는 다음과 같은 헤론의 공식을 만들었다.

삼각형 ABC의 세 변의 길이가 a, b, c 일 때, 넓이 S 는

■ 증명

제이 코사인 법칙에 의하면

 

         

         

         

여기서 이므로

그러므로  

이므로