아폴로니우스 원(Apollonios)

■ 아폴로니우스(Apollonios; B.C262~B.C190

아르키메데스보다 약 25년 후 태어난 아폴로니우스는 남부 소아시아 지방에 있는 페르가에서 태어났습니다. 아폴로니우스의 일생에 대해서는 알려진 것이 거의 없지만 젊었을 때 이집트 알렉산드라아로 유학을 가서 유클리드의 후계자로부터 배웠고 오랫동안 그 곳에 남아 있었다고 합니다 아폴로니우스가 뛰어난 천문학자이고 또 다양한 수학적 주제에 관하여 저술을 했다

주요한 업적은 그의 놀랄 만한 저작<원추곡선론, Conic Sections>에 있을 것이다. 이 저작은 동시대인이 그를 '위대한 기하학자'로 부른 원인이기도 하다. 아폴로니우스 이전의 그리스인들은 원추곡선을 원뿔의 꼭지각이 90°보다 작으냐. 같으냐, 크냐에 따라 세 가지 형태의 회전뿔로부터 만들어냈다. 이들 세 원뿔을 원뿔의 한 요소와 수직인 평면으로 자르면 각각 타원, 포물선, 쌍곡선 등이 만들어진다. 이때 쌍곡선은 단지 한 부분만 나오게 된다. 그러나 아폴로니우스는 논문 제Ⅰ권에서 모든 원추곡선을 오늘날에 흔히 하는 것처럼 이중 직원뿔 또는 이중 빗원뿔로부터 모두 만들어냈다.
타원(ellipse), 포물선(parabola), 쌍곡선(hyperbola)이라는 이름은 아폴로니우스가 만든 것으로서 그것은 초기 피타고라스 학파가 면적에 대하여 사용한 용어로부터 따온 것이다. 피타고라스 학파는 직사각형은 한 선분 위에 갖다 댈 때(즉 직사각형의 한 변을 선분 위에 갖다 놓을 때 직사각형의 변의 한 끝과 선분의 한 끝이 일치하도록 하는 것), 갖다 댄 직사각형의 변이 선분보다 짧으냐, 일치하느냐, 길이에 따라 변을 각각 'ellipsis'('부족하다'는 뜻의 그리스어):타원, 'parabole' ('일치한다'는 뜻의 그리스어):포물선, 'hyperbole'(초과한다'는 뜻의 그리스어):쌍곡선 의 경우라고 말했다.

■ 아폴로니우스 원(circle of Apollonios)

​일반적으로 평면위의 두 정점 A, B에 대하여 거리의 비PA : PB = m : n인 점의 자취 P가 나타내는 도형으로 이 도형은 선분 AB를 m : n으로 내분하는 점과 m : n으로 외분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 아폴로니우스 원이다.

​(만약, m=n이라면 점 P는 원을 그리지 않고, AB의 수직이등분선임)​

​

PA : PB = m : n(m≠n)인 점 P의 자취는 원이 되는 데 과연 이 자취의 방정식을 어떻게 되는지 알아보자.

두 정점 A, B에 대하여 PA : PB = m : n(m≠n)인 점 P가 나타내는 도형은 선분 AB를 m : n으로 내분하는 점과 m : n으로 외분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원이라는 것을 식으로 증명해 보면 다음과 같다.

​

움직이는 점 에 대하여 정점 라 하면

(단, m≠n)

-----①

 

두 점  를 지름의 양 끝으로 하는 원의 방정식은

  이므로

두점 A, B를 m : n으로 내분하는 점과 외분하는 점을 지름의 양 끝으로 하는 원의 방정식을 구하면

내분점은 , 외분점은 이고

점 P 가 나타내는 자취의 방정식은

 이다.

이를 전개하면

양변에    를 곱하면

-----②이다.

따라서 ①=②

두 정점 A, B에 대하여 PA : PB = m : n(m≠n)인 점 P가 나타내는 도형은 선분 AB를 m : n으로 내분하는 점과 m : n으로 외분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원이 된다.