사원수(quaternions)

사원수

 

복소수는 ( a, b는 실수) 꼴의 수이다. 아일랜드 출신의 수학자 해밀턴(William Rowan Hamilton, 1805-1865)은  로 나타낸 네 요소로 이루어진 사원수(四元數, quaternions) (a,b,c,d 는 실수)를 만들었다.

1833년의 논문에 따르면, 해밀턴은 수년 동안 때때로 실수의 순서 3쌍과 순서 4쌍의 대수에 관하여 생각했으나, 연산의 잘 알려진 법칙을 보존하고 그 연산을 자신의 물리적 고찰에 맞도록 곱셈을 정의하는 문제에서 항상 난관에 부딪혔다. 마침내 1843년 번개같이 스치는 영감으로 자신은 너무 많은 것을 요구하고 있었고, 교환법칙을 포기해야 한다는 생각을 하며 최초의 비가환대수인 사원수대수를 돌연 탄생시켰다.

 

사원수의 덧셈 : 각 성분의 합으로 표현 

 ,  이 실수일 때

사원수의 곱셈은 에 대하여 다음표와 같이 정의 하고 일반 문자를 곱하여 계산하면 된다.

×	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	−k	−1	i
k	k	j	−i	−1

사원수는 곱셈에서 교환법칙이 성립하지 않는다.

 

해밀턴은 1843년 10월 16일 부인과 함께 아일랜드의 수도 더블린의 로열 운하를 따라 산책하며 사원수의 아이디어를 떠올리고는 운하를 가로지르는 다리(Broombridge) 에 그 아이디어를 적어 놓았다고 한다. 이를 기념하기 위해 그 다리에 아래 그림과 같은 문구가 새겨져 있다.

교환법칙, 결합법칙, 분배법칙은 정수, 유리수, 실수의 덧셈과 곱셈에서뿐 아니라 복소수의 덧셈과 곱셈에서도 성립하는 매우 기본적인 법칙이다. 그러므로 덧셈이나 곱셈에 대한 연산 법칙이 성립하지 않는 수를 생각해 내기는 쉽지 않았을 것이다.

해밀턴이 만들어 낸 사원수에서는 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하지 않는다. 고정관념을 뛰어넘는 상상력은 수학적인 창조의 원동력이다.