코사인법칙 증명하기

코사인법칙

 

△ABC에서 세 각 ∠A, ∠B, ∠C의 크기를 A, B, C로 나타내고 이들의 대변의 길이를 각각 a, b, c로 나타낸다.

두 변과 그 끼인각이 주어질 때 코사인법칙을 사용하면 나머지 한변의 길이를 구할 수 있다. 또한 코사인 법칙을 변형하여 세 변이 주어질 때 각의 크기를 구할 수 있다.

△ABC의 세변의 길이 a, b, c와 세 각의 크기 A, B, C 사이에 다음과 같이 성립하는 법칙을 코사인법칙이라고 한다.

삼각형 ABC에서 세변의 길이 a, b, c와 세 각의 크기를 A, B, C 라 하면

            

■ 증명

삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 변 BC 또는 그 연장선에 내린 수선의 발을 H라고 할 때, ∠C의 크기에 따라 다음의 세 가지 경우로 나누어 생각할 수 있다.

(ⅰ) 일 때,

                                            

두 경우 모두

이고, 이므로

 

  

  

 

(ⅱ) 일 때,(피타고라스 정리)

이므로

(ⅲ) 일 때,        이고, 이므로

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 ∠C의 크기에 관계없이 가 성립한다.

같은 방법으로

,

도 성립함을 알 수 있다.

 

◆ 코사인 법칙의 변형

세변의 길이가 주어지면 코사인 법칙의 변형을 이용하여 각의 크기를 구할 수 있다.

 

사인법칙은 대변과 대각이 주어진 경우에 사용하며 외접원 문제의 해결사이다. 코사인 법칙은 두 변과 그 끼인각이 주어진 문제나 세변이 주어질 때 변형을 이용하면 문제를 풀 수 있는 해결사이다. 사인법칙와 코사인법칙 두 법칙을 적절하게 이용하여 문제를 풀면 삼각형 관련문제의 해답을 찾는데 유용하다.