사인법칙 증명하기

사인법칙

 

△ABC에서 세 각 ∠A, ∠B, ∠C의 크기를 A, B, C로 나타내고 이들의 대변의 길이를 각각 a, b, c로 나타낸다.

일반적으로 삼각형의 세 변의 길이와 세 각의 크기 사이에는 다음과 같은 관계가 성립하고, 이것을 사인법칙이라고 한다.

사인법칙은 대변과 대각이 주어지는 경우에 사용한다.

삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라고 하면

■ 증명

삼각형 ABC의 외접원의 중심을 O, 반지름의 길이를 R라고 할 때, ∠A의 크기 A에 따라 다음의 세 가지 경우로 나누어 생각할 수 있다.

(ⅰ) 일 때, 점 B를 지나는 지름 BA′을 그으면 원주각의 성질에 의하여 A=A′이고 , 이므로 삼각형 A′BC에서 이므로

(ⅱ) 일 때, , a=2R 이므로

(ⅲ) 일 때, 점 B를 지나는 지름 BA′을 그으면 (원에 내접하는 사각형은 마주보는 각의 크기의 합이 임)이고 , 이므로

 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 ∠A의 크기에 관계없이

, 즉 

가 성립한다.

같은 방법으로 , 도 성립함을 알 수 있다.

따라서 이다.

◆ 유용한 사인법칙의 변형

(1) 

(2) 

(3) 

이상 사인법칙의 증명을 알아보았습니다.