거듭제곱과 거듭제곱근

■ 거듭제곱과 거듭제곱근

1. 거듭제곱

실수 a를 여러 번 곱한 을 통틀어 a의 거듭제곱이라고 하며, 에서 a를 거듭제곱의 밑, n을 거듭제곱의 지수라고 한다.

 

2. 지수가 자연수일 때의 지수법칙

a, b가 실수이고 m, n이 자연수일 때

(1) 

(2) 

(3) 

(4) 

(5) 

 

3. 거듭제곱근

실수 a와 2 이상의 자연수 n에 대하여 n제곱하여 a가 되는 수, 즉 방정식 를 만족시키는 x를 a의 n제곱근이라고 한다.

이때, a의 제곱근, 세제곱근, 네제곱근, …을 통틀어 a의 거듭제곱근이라고 한다.

의 근중 하나의 실근을 로 나타내고 n 제곱근 a로 읽는다.

a의 n제곱근 ➡ n제곱하여 a가 되는 수 ➡ 방정식 의 n개의 근

 

4. 실수 a의 n제곱근 중 실수인 것, 즉 의 실근

n이 2 이상의 자연수일 때, 실수 a의 n제곱근 중에서 실수인 것은 다음과 같다.

n ＼ a	a>0	a=0	a<0
n이 짝수 (실근의 개수)	(2개)	0 (1개)	없다. (0개)
n이 홀수 (실근의 개수)	(1개)	0 (1개)	(1개)

※ (주의)

(1) a의 n제곱근과 n 제곱근 a는 다르다.

(2) a의 n제곱근은 방정식 의 근으로 복소수 범위에서 n개가 존재한다.

(3) n제곱근 a는 a의 제곱근 중 a와 부호가 같은 실수로 1개이다.

 

▷ 설명

함수 의 그래프를 이용하여 실수 a의 n제곱근 중에서 실수인 것을 구해보자.

(1) n이 짝수일 때,

실수 x에 대하여 이므로 함수 의 그래프는 아래 그림과 같이 y축에 대하여 대칭이다.

(ⅰ) a>0이면 a의 n제곱근 중에서 실수인 것은 양수, 음수의 두 개가 있고 그 절댓값은 같다.
이때 양수인 것과 음수인 것을 각각
              
와 같이 나타낸다.

(ⅱ) a=0이면 0의 n제곱근은 0뿐이다. 즉 이다.

(ⅲ) a<0이면 a의 n제곱근 중에서 실수인 것은 없다.

(2) n이 홀수일 때,

실수 x에 대하여 이므로 함수 의 그래프는 아래 그림과 같이 원점에 대하여 대칭이다.

따라서 모든 실수 a에 대하여 a의 n제곱근 중에서 실수인 것은 오직 하나뿐이고, 이것을 와 같이 나타낸다. 특히 이다.

5. 거듭제곱근의 성질

a>0, b>0 이고 m, n이 2 이상의 자연수일 때

(1) 

(2) 

(3) 

(4) 

(5) (단, p는 양의 정수)

무리식 복소수