코사인법칙의 다양한 증명(코사인법칙 증명)

코사인 법칙

 

코사인법칙을 증명해 보자.

삼각형 ABC에서

삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 변 BC 또는 그 연장선에 내린 수선의 발을 H라고 할 때, ∠C의 크기에 따라 다음의 세 가지 경우로 나누어 생각할 수 있다.

(1) 일 때,

      

두 경우 모두

이고, 이므로

   

   

   

 

(2) 일 때,

이므로

(3) 일 때,

    

이고, 이므로

   
   
   

(1), (2), (3) 에서 ∠C 의 크기에 관계없이 가 성립한다.

같은 방법으로

 ,  

도 성립함을 알 수 있다.

 

■ 제일 코사인법칙을 이용하여 제이 코사인 법칙 증명하기

 

1. 제일 코사인 법칙 증명

삼각형 ABC 에서 세 변의 길이와 세 각의 코사인에 대하여 다음과 같은 제일 코사인법칙이 성립한다.

 

제일 코사인법칙

 

삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 변 BC 또는 그 연장선 위에 내린 수선의 발을 H라 하고, ∠C의 크기에 따라 다음과 같이 세 경우로 나누어 제일 코사인법칙을 증명할 수 있다.

(1) 일 때

(2) 일 때

 
  

(3) 일 때

이므로

따라서 ∠C의 크기에 관계없이 가 성립한다.

 

같은 방법으로 도 증명할 수 있다.

 

2. 제이 코사인 법칙 증명

삼각형 ABC에서 제일 코사인법칙에 의해

이므로 각 식의 양변에 차례로 a, b, c 를 곱하면

을 계산하면

따라서 

같은 방법으로

도 성립한다.

 

■ 제이 코사인법칙의 현의 성질을 이용한 증명

 

현의 성질을 이용하여 제이 코사인법칙을 이끌어 낼 수 있다.

 

한 원의 두 현 AB, CD가 만나는 점을 P라고 할 때

 

그림과 같은 삼각형 ABC가 있다고 하자.

점 B를 중심, 변 BC를 반지름으로 하는 원을 그린다. 이때, 선분 BC의 연장선과 원이 만나는 점을 D, 선분 AC의 연장선과 원이 만나는 점을 E, 선분 AB의 연장선과 원이 만나는 점을 F와 G라고 하자.

그러면 원의 두 현 는 점 A에서 만나므로 위의 현의 성질에 의해 이다.

이제 에 대하여 생각해 보자.

우선 이므로 이고 이다. ∠CED는 지름 에 대한 원주각이므로, 원주각의 성질에 의하여 이다.

또한 이고 이므로 삼각형 CDE에서 이다.

그리고 이다.

그러므로 로부터 다음이 성립한다.

이를 정리하면 다음과 같은 제이 코사인법칙을 얻는다.

 

■ 제이 코사인법칙의 피타고라스를 이용한 증명

                      

다음 그림에서 삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 변 BC에 내린 수선의 발을 H라고 하자.

삼각형 ACH에서 이다.

또한, 이므로 이다.

이제, 다음 그림와 같이 를 빗변으로 하는 직각삼각형 ABH를 생각하자.

 

이므로 를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 이고, 이므로 를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 이다.

따라서 피타고라스의 정리에 의해 다음이 성립한다.

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