피보나치 수열

피보나치 수열

 

<출처: 알프레드S. 포사멘티어 외, 「피보나치 넘버스」>

1. 피보나치 수열

이탈리아의 수학자 피보나치(Fibonacci, 1175~1250)는 아라비아에서 발전된 수학을 유럽에 소개하여 유럽 여러 나라의 수학을 발전시키는 데 크게 기여하였다.

피사의 레오날도라고도 불리우는 그는 사라센제국의 회교도권 수학을 유럽의 그리스도교 국가로 소개한 공헌을 수학사에 남겼는데 피보나치는 1202년 자신의 저서 ‘산반서(Liber abaci)’에서 다음과 같은 토끼의 번식에 대한 문제를 제시하였다.

 

갓 태어난 토끼 암수 한 쌍이 있다. 이 토끼 한 쌍은 태어난 지 두 달이 되는 달부터 매달 암수 한 쌍의 토끼를 낳으며, 새로 태어난 토끼 한 쌍도 태어난 지 두 달이 되는 달부터 매달 암수 한 쌍의 토끼를 낳는다. 일 년 후 토끼는 모두 몇 쌍이 될까? (단, 토끼는 중간에 죽지 않는다.)

 

이를 수열로 나타내면,

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

 

따라서 피보나치 수열이란 어떤 수열의 항이, 앞의 두 항의 합과 같은 수열을 말함.

(이 성질을 발견한 레오나르도 피보나치(Leonardo Fibonacci)의 이름을 따서 피보나치 수열이라 이름 붙임)

 

2. 피보나치 수열의 신비(특징)

① 수열의 구성을 살펴보면 앞의 두 수를 더하면 다음 숫자가 나오게 된다.

② 어느 숫자이건 하나 건너 숫자로 나누면 그 몫은 2가 된다. (예: 8÷3=2…2 ; 몫2) 그리고 나머지 값은 그 직전의 값이 된다. (예: 13÷5=2…3 ; 5의 직전의 값 3)

③ 바로 앞의 숫자를 뒤의 숫자로 나누면 그 값은 1.618이라는 숫자에 근접하게 됨. 이것을 황금비라고 함.

④ 큰 수에서 하나 건너 작은 숫자로 나누면 그 값은 2.618이라는 숫자에 근접함.

⑤ 인접한 두 항의 최대공약수는 1.(유클리드 호제법으로 증명함)

 

3. 피보나치 수열의 점화식 표현

F(0)=1

F(1)=1

F(n+2)=F(n+1)+F(n) (단 n ≥ 0, 정수)

 

4. 황금비란 무엇인가?

가로, 세로의 길이의 비가 1:r (단, r > 1)인 직사각형에서, 한 변의 길이가 1인 정사각형을 오려낼 때, 남은 직사각형 r-1:1 이, 오려내기 전의 원래 직사각형과 닮은 직사각형이 될 때, r 을 황금비라고 함.

비례식으로 계산하면, 1 : r = r-1 :1 에서

여기서 ( ≒ 1.6180339887…)

앞서 말한 피보나치 수열

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

에서, 이웃한 두 항의 비,

… ≒ 1.6180339887…

를 구하면 그 극한값이 황금비와 같음.

  

5. 피보나치 수열의 일반항 구하기

F(n+2) - F(n+1) - F(n) = 0 ← ⓐ

F(n+2) - a F(n+1) = b { F(n+1) - a F(n) }

F(n+2) - (a+b) F(n+1) + ab F(n) = 0 ← ⓑ

 ⓐ, ⓑ식에 따라서,

a+b=1 , a․b=-1

근과 계수와의 관계를 쓰면, 근을 a, b 로 갖는

= 

 일단, , ← ⓒ

라 두고, F(n+2) - a F(n+1) = b { F(n+1) - a F(n) }에서,

G(n) = F(n+1) - a F(n) 이라 두면, G(n) 은 공비가 b 인 등비수열이 된다.

 즉, 

여기서 G(1) = F(1+1) - a F(1) = F(2) - a F(1) = 1 - a = b 니까,

 따라서, 

이를 풀면 

 아니면, 다른 방법으로 풀면

이 성립한다.

도 성립한다. ( ⓒ식 에서 a , b 를 바꿈)

두 식을 빼주면, 이므로,

a와 b를 대입하면,

따라서 

 

6. 피보나치 수열의 황금비 계산

피보나치 수열의 인접한 두 항의 비는,

이고,

따라서 ← 황금비

왜냐하면 이므로,

  

◆ 유사문제<참고도서 : 수학의 징검다리 (김채룡/전원문화사/1997.4.10.)>

 피보나치 수열은 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …과 같이 1, 1로 시작하여 앞의 두 항의 합이 뒤의 항이 되어 있는 수열이다. 그런데 이 피보나치 수열과 유사한 임의의 수열을 만들 수 있다. 지금 2와 7을 처음 두 항으로 하여 피보나치 수열과 같이 앞의 두 항의 합으로 뒤의 항을 만들어 나가면 2, 7, 9, 16, 25, 41, 66, 107, 173, …의 수열이 생긴다. 그런데 임의의 두 항(예를 들어 41과 66) 사이에 선을 긋고 그 선의 앞 항까지의 합을 구하면, 그 합은 선 뒤 2번째 항에서 그 수열의 2번째 항을 뺀 차와 같다. 즉, 2+7+9+16+41=100인데 이 값은 선 뒤의 2번째 항 107에서 이 수열의 2번째 항 7을 뺀 차 107-7=100과 같다. 이 수열 어디에 선을 그어도 이 성질은 성립하며, 또 처음 두 수로 어떤 수를 택하여 수열을 만들어도 이 마법은 그대로 성립한다.

 

이제 그 이유를 살펴보자. 이 수열의 각 항을 분석해 보면 제3항부터 차례로

9=2+7

16=7+9=7+(2+7)=2+7×2

25=9+16=(2+7)+(2+7×2)=2×2+7×3

41=16+25=(2+7×2)+(2×2+7×3)=2×3+7×5

66=25+41=(2×2+7×3)+(2×3+7×5)=2×5+7×8

107=41+66=(2×3+7×5)+(2×5+7×8)=2×8+7×13

로 나타내진다.

 

그런데 선의 앞 항까지의 합은

2+7+9+16+25+41=2+7+(2+7)+(2+7×2)+(2×2+7×3)+(2×3+7×5)=2×8+7×12로 표시되어 선에서 2번째 뒤의 항 107=2×8+7×13보다 7만큼 작다. 즉, 선 앞 항까지의 합은 선 뒤 2번째 항에서 그 수열의 2번째 항을 뺀 것과 같음을 알 수 있다.

 

◆ 나뭇잎 꽃받침 등에도 일정한 패턴 존재...식물성장 동력학 이론 기반 역할

 삶은 옥수수를 나눠 먹기 위해 반 쪼갰을 때 잘라진 면에 붙어 있는 옥수수 낱알을 세어보면 무척 흥미 있는 사실을 발견하게 된다. 옥수수의 낱알은 모두 짝수라는 사실이다. 그것은 8,10,12,14,16열로부터 큰 것은 24열까지 짝수로 분포한다. 옥수수를 잘 관찰해 보면 끝으로 갈수록 가운데와 비교해서 낱알의 개수가 작아지는데 그래도 홀수로는 되지 않고 짝수로 변하는 것을 쉽게 알아 볼 수 있다. 옥수수의 낱알이 홀수인 것을 발견하려고 27년간 애를 쓴 농부도 있었다고 한다.

 

꽃들의 꽃잎을 세어 본적이 있을 것이다. 특히 네 잎 클로버가 행운을 가져 온다고 하여 들에 있을 때나 잔디밭에 앉아 있을 때 심심찮게 주위를 찾아보던 기억들은 누구나가 다 간직하고 있는 추억이다. 클로버는 꽃잎이 3장인 것이 정상인데 예외로 4장짜리 꽃잎이 간혹 발견되기 때문에 이를 찾으면 행운이 온다는 생각 때문에 열심히 찾아 보는 것이다.

 

주위의 꽃들을 보면 꽃잎이 3장이나 5장으로 되어 있는 꽃들이 대부분이고 9장이나 10장으로 되어 있는 꽃잎은 찾아보기 힘들다.

 

신기하게도 거의 모든 꽃들의 꽃잎은 3,5,8,13,21,34,55,89....식의 특이한 수열을 이루고 있다. 또한 전나무도 이러한 갯수로 열매를 맺는다. 이 수열의 특징은 세번째 이상의 수는 앞선 두수의 합이 된다는 것이다.

 

백합이나 보춘화는 꽃잎이 3장, 자두, 살구, 복숭아, 능금, 조팝나무, 솜양지꽃, 패랭이꽃, 동자꽃, 참외, 채송화, 동백은 5장, 모란, 수련, 참제비고깔은 대개 8장, 금잔화는 13장이다. 한편, 국화과의 애스터는 21장이고 데이지 꽃은 대개 35장이나 55장 또는 89장의 꽃잎을 갖는다.

 

남미 페루의 국화인 해바라기의 이야기는 더욱 매력적이다. 꽃과 같이 있는 씨앗이 되기 전의 작은 꽃들의 나선형 패턴에서도 이와 같은 숫자들을 발견할 수 있다. 이러한 작은 꽃들은 서로 엇갈리는 2개의 나선 모양으로 배열되어 있어서 마치 해를 따라 움직이는 것처럼 착각 하게 한다. 하나는 34개의 씨앗이 시계방향으로 회전하고 다른 하나는 55개의 씨앗이 시계반대방향으로 회전한다. 흔히 발견할 수 있는 쌍은 34와 55, 55와 89 또는 89와 144등의 숫자쌍이지만 그 이상의 피보나치 수를 찾아볼 수 도 있다.

 

파인애플에서도 이와 같은 규칙을 발견할 수 있는데 왼쪽으로 경사져 내려오는 다이아몬드 무늬 모양으로 생긴 8줄의 인편이 있는가 하면 오른쪽으로는 13줄의 비스듬히 내려오는 인편이 있다.

 

이와 같이 나뭇잎과 꽃잎의 숫자가 피보나치 수열을 이룬다는 것을 증명하기 위하여 최근의 수리물리학자들은 컴퓨터를 이용하거나 실험실 내에서의 실험을 통하여 식물성장의 동력학 이론을 고안해 냈다.

 

꽃잎 뿐 아니라 나뭇잎, 꽃받침 등등에서도 식물의 특성과 피보나치 수열과의 관계를 발견할 수 있지만, 가지 끝 정점에서 형성되는 원시세포라 불리는 작은 덩어리들이 잎이나 꽃잎으로 발전해 나가는 과정에서 만들어지는 생식나선(generative spiral)의 발산각(divergence angle) 또한 흥미 있는 연구의 대상이 되고 있다.

 

원시세포들이 생식나선을 따라 같은 각도로 배열되어 있는데 이 각은 대체로 137.5도에 거의 가깝다. 한편, 360도에 피보나치의 수 34와 55를 적용해서 얻어지는 각도가 222.5도 (360×34/55=222.5)와 137.5도(360-222.5=137.5)가 된다는 사실은 또 한번 우리를 놀라게 하고 있다. 다른 피보나치의 두수의 비율을 계산해 보아도 그 값은 0.618034에 가까워지는데 이 값은 수학에서 황금수라 불리는 이다. 즉 연속된 원시세포 사이의 각도인 137.5도가 황금각이 된다는 사실은 이 세상의 모든 꽃들이 아름다운 모습을 할 수 밖에 없는 커다란 비밀인 셈이다.

 

참고사이트 >> http://matrix.skku.ac.kr/sglee/skku-fibo2/3.htm