원주각과 중심각 사이의 관계

원주각과 중심각 사이의 관계

 도형에 관련된 문제를 풀다보면 많이 사용하는 방법중에 원주각과 중심각사이의 관계를 이용하여 문제를 해결하면 편리할 때가 많다. 꼭 기억했다가 문제를 해결하는데 유용하게 사용하길 바랍니다.

원의 호 AB에 대하여 원 위의 한 점 P를 연결할 때 생기는 각 ∠APB를 원주각(圓周角)이라 하고, 원의 중심 O를 연결할 때 생기는 각 ∠AOB를 중심각(中心角)이라 한다.

같은 호 AB에 대하여 원주각 ∠APB의 크기는 중심각 ∠AOB의 크기의 절반이다.

 

■ 증명

P에서 원의 중심 O를 지나는 연장선과 원과 만나는 점을 C라 하면

∠OAP=α, ∠OBP=β라 놓자.

△OAP가 이등변삼각형이므로 ∠OPA=α

△OBP가 이등변삼각형이므로 ∠OPB=β

삼각형의 외각의 크기는 마주 보는 두 내각의 크기의 합과 같으므로

∠AOC=2α , ∠BOC=2β

따라서

∠AOB=∠AOC +∠BOC

= 2α + 2β

= 2(α +β)

= 2(∠APB)

* 위 그림에서 AB 가 원의 지름인 경우는 중심각 ∠AOB의 크기가 180°이므로, 원주각 ∠APB의 크기는 그 절반인 90°이다. 즉, 원의 지름과 원 위의 한 점을 연결하여 만든 삼각형은 항상 직각삼각형이다. 따라서 지름에 대한 원주각의 크기는 직각이다.