심슨의 정리

심슨의 정리

 

삼각형 ABC의 외접원 위의 한 점 X에서 이 삼각형의 세 변 또는 그 연장선에 내린 수선의 발 P, Q, R은 모두 한 직선 위에 있다.

 

■ 증명

임을 보이면 된다.

원의 지름에 대한 원주각은 90도라는 사실과 원의 내접하는 사각형의 마주 보는 각의 합은 180도라는 성질을 이용하여 보이면 된다.

이므로 두 점 P, Q는 지름이 BX인 원 위에 있다. 따라서 호 PX에 대하여

∠XQP = ∠XBP ⋯⋯⋯①

원에 내접하는 사각형 ABXC에서 외각 ∠XBP의 크기는 그와 이웃하는 내각을 마주 보는 각 ∠XCA(즉, ∠XCR)의 크기와 같으므로

∠XBP = ∠XCR ⋯⋯⋯②

이므로 두 점 Q, R은 지름이 XC인 원 위에 있다. 따라서 사각형 XCRQ는 원에 내접하므로

⋯⋯⋯③

①  , ②, ③의 결과에 의해