절댓값 기호가 있는 함수의 그래프 그리기

■ 절댓값 기호가 있는 함수

절댓값 기호를 포함한 문제는 절댓값의 기본정의를 기본으로 범위를 나눠서 생각하면 절댓값을 포함한 방정식의 해, 절댓값을 포함한 부등식의 해, 절댓값을 포함한 함수의 그래프를 그릴 수 있다.

여기에서는 절댓값 기호가 있는 식의 그래프를 그리는 것을 알아보자.

1. 구간을 나누어 생각한다. (가장 기본이며 절댓값을 포함하는 함수는 모두 사용할 수 있다.)

절댓값 기호가 있는 식의 그래프는 절댓값 안의 식을 |f(x)|라 할 때, f(x)≥0과 f(x)<0 의 두 경우로 나누어 생각한다. f(x)≥0이면 |f(x)|=f(x)이고, f(x)<0이면 |f(x)|=-f(x)가 됨을 이용하여 그래프를 그리면 된다. 절댓값을 포함하는 그래프는 꺽이는 부분이 있는데 이는 절댓값 기호 안이 0이 되는 수에서 꺾이는 점이 된다.

 

2. 함수식에서 절댓값 기호가 포함된 식의 그래프는 다음과 같이 그린다.

(1) y=|f(x)| : 우변 전체에 절댓값이 씌워져 있을 때

⇨ y=f(x) 의 그래프에서 y≥0인 부분은 그대로 그리고, x축의 아래부분(y<0)을 x축위로 접어 올려서 그린다.

(2) y=f( |x| ) : 모든 x마다 절댓값이 씌워져 있을 때

⇨ y=f(x) 의 그래프에서 x≥0인 부분은 그대로 그리고, x<0인 부분은 x≥0의 부분을 y 축에 대칭이 되도록 그린다.

(3) |y|=f(x) : 좌변의 y에 절댓값이 씌워져 있을 때

⇨ y=f(x) 의 그래프에서 y≥0인 부분은 그대로 그리고, y<0인 부분은 y≥0의 부분을 x 축에 대칭이 되도록 그린다.

(4) |y|=f( |x| ) : 모든 x와 y에 절댓값이 씌워져 있을 때

⇨ y=f(x) 의 그래프에서 x≥0, y≥0인 부분은 그대로 그리고, 나머지는 x축, y축, 원점에 대칭이 되도록 그린다.

(5) y=f( |x-a| ) : (1)에서 |x| 대신에 |x-a| 대입하여 나타날 때

⇨ y=f(x-a) 의 그래프를 x≥a인 부분만 그린후, x=a에 대칭이 되도록 그린다.

 

3. 꺽인 점을 이용한다.

절댓값 기호가 있는 식의 그래프는 절댓값 기호 안을 0으로 만드는 x에서 꺾인다. 따라서 그 x에서의 함숫값을 구하면 여러 가지 그래프의 개형을 손쉽게 그릴 수 있다.

절댓값이 (+)로 연결되어 있는 경우에는 ∪자형의 그래프를 그리면서 절댓값 기호 안을 0으로 하는 수에서 꺾어 주면 된다.

(단, a<b<⋯<n)

x=a, b, ⋯, n에서 꺾이는 U자형의 그래프가 된다.