삼각형의 외심 증명

삼각형의 외심 증명

 

삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점을 삼각형의 외심(外心)이라 한다. 외심은 하나뿐이고, 외심에서 삼각형의 세 꼭지점에 이르는 거리는 모두 같다. 즉, 외심에서 삼각형의 꼭지점을 지나는 원을 그리면 외접원이 된다.

 

■증명

△ABC에서 두 변AB, AC의 수직이등분선의 교점을 O라 했을 때, O에서 변 BC에 내린 수선 OD가 BC를 수직이등분함을 보이자.

대응하는 두 변의 길이가 같고 그 끼인각의 크기가 같으므로, △AOF 와 △BOF 는 합동이고, △AOE 와 △COE 도 합동이다.

따라서 선분 OA = 선분 OB = 선분 OC

선분 OB = 선분 OC 이고 선분 OD는 공통으로 같으므로, 피타고라스 정리에 의해 선분 BD = 선분 CD 이다.

따라서 선분 OD 는 선분 BC 를 수직이등분한다.

 

※ 외접원

선분 OA = 선분 OB = 선분 OC 이므로 이것을 반지름으로 삼아 원을 그리면 △ABC의 외부에서 접하는 원이 생기는데, 이 원을 삼각형의 외접원(外接圓)이라 한다. 즉, 외심이란 외접원의 중심이란 뜻이다.