삼각형의 내심 증명

삼각형의 내심 증명

 

삼각형에서 세 내각의 이등분선의 교점을 삼각형의 내심(內心)이라 한다. 삼각형에서 내심은 하나뿐이고, 내심에서 삼각형의 세 변에 이르는 거리는 모두 같다. 즉, 내심에서 세 변에 접하는 원을 그리면 내접원의 중심이 된다.

 

■증명

△ABC에서 두 각 ∠A , ∠B의 이등분선의 교점을 O라 했을 때, 선분 CO가 ∠C 의 이등분선임을 보이자.

O에서 △ABC의 세 변에 내린 수선의 발을 D, E, F라 하면, 대응하는 한 변의 길이가 같고 그 양끝각의 크기가 같으므로 △BOD 와 △BOF 는 합동이고, △AOF 와 △AOE 도 합동이다.

따라서 선분 OD = 선분 OE = 선분 OF

선분 OD = 선분 OE 이고 선분 OC 는 공통으로 같으므로, 피타고라스정리에 의해 선분 CD = 선분 CE이다. 따라서 대응하는 두 변의 길이가 같고 그 끼인각의 크기가 같으므로 △COD 와 △COE 는 합동이다.

따라서 ∠OCD = ∠OCE

따라서 선분 CO 는 ∠C 의 이등분선이다.

 

※ 내접원

위에서 선분 OD = 선분 OE = 선분 OF이므로 이것을 반지름으로 하는 원을 그리면 △ABC 의 내부에서 접하는 원이 생기는데, 이 원을 삼각형의 내접원(內接圓)이라 한다. 즉, 내심이란 말은 내접원의 중심이란 뜻이다.