삼각형의 무게중심 증명

삼각형의 무게중심 증명

 

△ABC에서 꼭짓점에서 마주보는 변의 중심과 연결하여 만나는 점(삼각형의 세 중선의 교점)을 무게중심이라 한다. 삼각형의 무게중심에 대하여 다음과 같은 성질이 있다.

(1) 무게중심은 하나뿐이다.

(2) 무게중심은 중선의 길이를 꼭지점으로부터 2 : 1로 내분한다.

(3) 세 중선에 의해 나누어진 6개의 삼각형의 넓이는 모두 같다.

 

■증명

(1) 증명

△ABC 에서 두 중선 BE 와 CF의 교점을 O라 했을 때, 선분 AO의 연장선 AD 가 중선임을 보이자.

선분 AO = 선분 OG 인 점 G를 잡으면 △AFO와 △ABG는 대응하는 두 변의 길이의 비가 같고 그 끼인각의 크기가 같으므로 닮음이다.

따라서 선분 FO와 선분 BG , 즉 선분 FC 와 선분 BG는 평행하다.

따라서 △OBC 와 △GCB 는 선분 BC의 길이가 같고 엇각으로서 α 끼리, β끼리 같으므로 합동이다.

따라서 선분 OC = 선분 BG

따라서 △ODC 와 △GDB는 합동이다.

따라서 선분 BD = 선분 DC

따라서 선분 AD는 중선이다.

 

(2) 증명

(1)의 그림에서 △ODC 와 △GDB가 합동이므로 선분 OD = 선분 DG 이다.

따라서 선분 AO : 선분 OD = 선분 OG : 선분 OD = 2 : 1

따라서 무게중심 O는 중선 AD를 2 : 1 로 내분한다.

 

(3) 증명

아래 그림에서 △OAF 와 △OBF는 밑변의 길이와 높이가 같으므로 넓이가 같다. 마찬가지로 △OBD 와 △OCD 도 넓이가 같고, △OCE 와 △OAE 도 넓이가 같다.

큰 삼각형을 보면 △ABD 와 △ACD도 밑변의 길이와 높이가 같으므로 넓이가 같다.

따라서 

따라서  

같은 방법으로 하면  

따라서 세 중선에 의해 나누어진 6개의 삼각형의 넓이는 모두 같다.