삼각형의 수심 증명

삼각형의 수심 증명

 

삼각형의 세 수선은 한 점에서 만나는데, 그 점을 수심(垂心, Orthocenter)이라고 한다.

 

■ 증명

△ABC에서 꼭짓점 B, C에서 수선을 내려 그 발을 각각 F, D라 하고, 두 수선의 교점 H를 지나는 선분 AE가 수선임을 보이면 된다. 즉, 원 안에 내접하는 사각형과 원주각의 관계를 이용하여 ∠BEA=90 〫임을 증명해 보자.

△BCF에서 ∠CBF =∠a, ∠BCF = ∠b라 하고 선분 DF를 이으면, ∠BDC = ∠BFC = 90 〫 이므로 사각형 □DBCF는 원 안에 내접한다.

따라서 ∠FBC =∠FDC=∠a 이다.

왜냐하면 원 O′에서 선분 FC에 대한 원주각이기 때문이다.

사각형 □ADHF에서 ∠ADH + ∠AFH=180 〫이므로, 사각형 □ADHF는 원 안에 내접한다. 대각선의 합이 180 〫이므로

따라서 ∠HDF =∠HAF =∠a 이다.

왜냐하면 원 O에서 선분 HF에 대한 원주각이기 때문이다.

△BCF에서 ∠a +∠b =90 〫이므로 △AEC에서 ∠CAE=∠a, ∠ACE=∠b

따라서 ∠AEC=90 〫이다.

그러므로 삼각형의 세 수선은 항상 한 점에서 만나고, 그 교점은 내부(예각삼각형), 꼭짓점(직각삼각형), 외부(둔각삼각형)에 각각 존재한다.