삼각형의 방심 증명

삼각형의 방심 증명

 

삼각형의 두 외각의 이등분선과 다른 한 내각의 이등분선은 한 점에서 만나는 데, 그 점을 방심(傍心, Excenter)이라 한다.

 

■ 증명

그림과 같이 △ABC의 두 외각의 이등분선이 만나는 점을 O라 하면, 선분 OB가 ∠B의 이등분선임을 보이면 된다.

점 O로부터 선분 AE, 선분 CD, 선분 AC에 각각 수선을 내려 그 발을 P, Q, R이라 하면

△APO = △ARO (RHA 또는 ASA 합동)

따라서 선분 OP = 선분 OR

△CRO = △CQO (RHA 또는 ASA 합동)

따라서 선분 OR = 선분 OQ

위 식에 의해

선분 OP = 선분 OR = 선분 OQ 이므로 △BPO = △BQO (RHS합동)

따라서 ∠PBO = ∠QBO

그러므로 선분 BO는 ∠B의 이등분선이다.

이상 삼각형의 두 외각의 이등분선과 다른 한 내각의 이등분선은 항상 한 점에서 만나고, 그 교점은 삼각형의 외부에 존재한다. 삼각형의 방심은 세 개가 존재한다.