포물선에서 초점을 지나는 직선의 성질

■ 포물선에서 초점을 지나는 직선의 성질

포물선에서 꼭지점을 O(0,0), 초점을 F(p,0)라고 하고 초점 F를 지나는 직선이 이 포물선과 만나는 두 점을 A, B라 하고 선분 AF = a, 선분 BF = b, 선분 OF = f라 할 때, 다음과 같은 성질이 성립한다. 이를 이용하면 포물선에서 사용하면 편하게 문제를 해결할 수 있습니다. 잘 기억 했다가 활용하면 됩니다.

■ 증명

위 그림과 같이 포물선의 정의에 의하여 선분 AH =a, 선분 BH′=b 이며 선분 BH′ 의 연장선과 점 A를 지나고 y축에 평행한 선분과 만나는 점을 C라고 하고 x축과 만나는 점을 D라고 하면 △AFD와 △ABC는 닮은 삼각형이다.

닮은 비를 이용하여

a : a+b = a-2f : a-b

이를 정리하면

(a+b)(a-2f) = a(a-b)

양변을 2abf로 나누면

가 성립한다.

따라서 이다.