쌍곡선의 활용(실생활 이용)

쌍곡선의 활용

 

쌍곡선을 이용해서 항해 중인 배의 위치를 알아내는 방법에 대하여 생각하여 보자.

멀리 떨어져 있는 두 기지에서 항해 중인 배로 동시에 전파를 보낸다. 배는 보통 어느 한 기지에 더 가까이 있기 마련이므로, 두 기지에서 보낸 신호를 약간의 시차를 두고 받게 된다.

두 기지 A와 B에서 발신한 신호가 배에 도달하는 데 걸리는 시간을 각각 라 하고, 배의 위치를 P라 하면 다음 식이 성립한다.

                            (단, c는 전파의 속력)

따라서 배는 두 점 A, B를 초점으로 하는 쌍곡선 위의 어딘가에 있다.

배의 위치를 정확하게 알고 싶으면 서로 다른 세 지점으로부터 발신된 신호를 이용하면 된다. A기지와 또 다른 한 기지인 C에서 전파를 보내서 거리의 차를 구하면, 위와 마찬가지 방법으로 배가 위치하는 A와 C를 초점으로 하는 쌍곡선을 구할 수 있다. 이제 A, B를 초점으로 하는 쌍곡선과 A, C를 초점으로 하는 쌍곡선의 교점을 구하면 배의 정확한 위치를 알 수 있다.

 

■ 쌍곡선의 성질를 이용한 활용

포물선의 초점에서 반사된 빛은 축과 평행하게 나아갑니다. 또, 타원의 한 초점에서 나아간 빛은 타원에서 반사되어 다른 초점을 향하여 나아갑니다. 쌍곡선에도 이와 같은 광학적 성질을 가지고 있다. 즉, 쌍곡선의 한 초점에서 나온 빛은 쌍곡선에서 반사된 후 다른 초점에서 나온 빛처럼 진행합니다.

 

▶ 증명

쌍곡선 의 두 초점 F, F’과 쌍곡선 위의 점 P가 이루는 ∠FPF’을 이등분하는 직선을 이라 하고, 위에 점 P와 다른 점 Q를 잡자.

[ 그림 1]

⑴ 이다.

위에 이 되도록 점 R를 잡는다.

∠QPR=∠QPF, , 는 공통변이므로

△QPR≡△QPF (SAS합동)이다.

따라서 

이다.

그러므로 이 성립한다.

 

⑵ 직선 은 쌍곡선의 접선이다.

이므로 점 Q는 쌍곡선 위의 점이 아니다. 즉, 직선 과 쌍곡선의 교점은 점 P 하나뿐이다. 따라서 직선 은 점 P에서의 쌍곡선의 접선이다.

 

⑶ ∠FPT=∠QPS이다.

[그림 2]

[그림 2] 와 같이 직선 F’P 위에 점 S를, 직선 위에 점 T를 잡으면 직선 이 ∠FPF’의 이등분선이라는 가정과 맞꼭지각의 성질에 의하여 ∠FPT=∠QPS이다.

이제 쌍곡선의 초점이 있는 안쪽면을 거울로 두고 한 초점 F에 광원을 놓았다고 하자. 그러면 입사각과 반사각의 성질에 의하여 초점 F에서 나온 광선은 쌍곡선 거울에 반사한 뒤 다른 초점 F’에서 나온 광선인 것처럼 퍼져 나간다. (출처 : 동아출판사)

■ 쌍곡면을 이용한 냉각탑 

냉각수를 재 냉각하는 냉수장치의 하나로 다른 냉수 장치에 비해 점유 면적당의 냉각효과가 각별히 높기 때문에 가장 많이 실용화되고 있다. 송풍기에 의해 탑 내에 공기류를 만들고, 물과 직접 접촉시켜서 열교환을 한다. 공기와 물의 접촉면적, 접촉시간을 크게하기위해 스프레이로 물을 분무하고, 다시 충전물을 설치한다. 전열 및 수분의증발은 충전물에 따라 흐르는 수막에서 수로 이루어지는 수막형과 중전물의 하단에서 낙하하는 수적에 주로 의존하는 수적형으로 나뉘어진다. 공기와 물의 흐름방향에서는 향류 냉각탑과 직교류 냉각탑이다. 이는 쌍곡선의 원리를 이용하였다. 냉각탑은 원자력 발전소를 식혀주는 역할을 하기 때문에 안정성을 매우 중요한 건축물이다. 이런 건축물이 안정적으로 지어지지 않게 된다면, 미래에 안전을 보장할 수 없다. 냉각탑의 안전성은 원자력 발전소의 안전성과도 직접적인 연관이 있기에 매우 중요하다. 그래서 생각해 낸 것이 쌍곡선을 이용한 것이다. 쌍곡선 (정확히는 쌍곡면)을 이용한 구조물은 수직 구조물보다 외부의 힘에 보다 안정적으로 ​버틸 수 있는 장점이 있지만, 사용할 수 없는 공간이 많아 공간 효율성이 낮다는 담점이 있다. 하지만 세계 여러나라는 냉각탑에 쌍곡선을 이용한다. 물론 공간 효율성이 낮아서 공간을 많이 차지 할수도 있지만 원자력 발전소 같은 경우는 그 지역의 안전이 달려있기 때문에 외부 힘에 대해서 더 안정적으로 버틸 수 있는 쌍곡선을 이용한다.

 

이차곡선의 활용