원과 타원의 관계(원을 이용하여 타원 만들기)

원과 타원의 관계

 

■ 원의 한쪽 방향으로 축소

타원(楕圓)에서 타(楕)는 ‘길쭉하다’는 뜻이므로, 타원은 글자 그대로 ‘길쭉한 원’을 뜻한다.

실제로 원을 한쪽 방향으로 늘이거나 줄이면 타원이 된다.

 

원 를 y축의 방향으로 배로 축소해 보자.

 

주어진 원 위의 점 P(u, v)에 대응하는 구하는 도형 위의 점을 Q(x, y)라고 하자.

원 을 y축의 방향으로 배로 축소한다는 것은 점 P(u, v)의 y좌표를 배하는 것을 뜻한다.

따라서 

즉, 

그런데 P(u, v)는 원 위의 점이므로

                                 

여기에 를 대입하면

                      

                      

                      

따라서 구하는 도형은 장축의 길이가 4, 단축의 길이가 2인 타원이다.

 

■ 원으로 타원그리기

(1) 두 개의 동심원을 그리고, 원의 중심을 지나는 직선을 긋는다.

(2) 직선과 큰 원의 교점에서는 수직으로, 작은 원의 교점에서는 수평으로 직선을 그어 두 직선의 교점을 얻는다.

(3) 원의 중심을 지나는 다른 직선들을 긋고 (2)를 반복하여 얻은 교점들을 부드러운 곡선으로 연결한다.

▶ 증명

원점을 지나는 직선이 x축과 이루는 각을 θ라 하면

점 P(x, y)의 좌표는 이다.

즉, 

그런데 이므로

를 이 식에 대입하면 이라는 타원의 방정식이 된다. [출처 : 동아출판사]

이상 원을 이용하여 타원을 만들어 보았습니다. 원의 한쪽을 축소하여 타원을 만들어 보았으며 두 동심원을 이용하여 원의 중심에서 그은 직선을 이용하여 타원을 만들 수 있음을 알 수 있다. 

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