실생활에서 타원의 이용 찾기

■ 실생활에서 타원의 이용 찾기

○ 태양계 천체의 운동

태양계의 행성들은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 따라 움직인다. 코페르니쿠스(Copernicus, N. ; 1473~1543)는 천동설을 뒤집고 지동설을 주장했지만, 고대의 천문학자들과 마찬가지로 행성이 원 운동을 한다고 생각하였다. 천문학자와 수학자들이 고대로부터 행성이 원 운동을 할 것이라고 생각한 이유 중 하나는 원이 가장 완전한 도형이라고 여겼기 때문이다.

케플러(Kepler, J. ; 1571~1630)도 처음에는 행성이 원 운동을 할 것이라고 생각했으나 관측 자료를 분석한 결과 행성이 타원 궤도를 따라 운동한다는 것을 밝혀내었다. 태양계의 행성 이외에 혜성들 중에도 타원 궤도를 따라 움직이는 것들이 있다.

(핼리혜성)

1705년 핼리(Halley, E. ; 1656~1742)는 1531년, 1607년, 1682년에 나타난 혜성의 궤도가 서로 일치하는 것을 확인하였다. 그는 같은 혜성이 태양 주위를 약 76년에 한 번씩 돌고 있다고 생각하고, 이 혜성이 1758년에 다시 나타날 것이라고 예언하였다.

핼리는 자신의 예언이 실현되는 것을 보지 못하고 세상을 떠났지만, 1758년 그가 예언한 대로 혜성이 다시 나타났다. 그 후 사람들은 그의 공로를 기념하여 이 혜성을 핼리 혜성이라고 부르기로 하였다.

과학자들은 핼리 혜성이 2062년에 지구를 다시 찾을 것으로 예상하고 있다.

 

○ 타원의 성질을 이용한 기기

아래 그림과 같은 타원 모양의 당구대의 두 초점 F, F’에 공이 놓여 있을 때, 점 F에 놓인 공의 뒷면을 똑바로 치면 공은 당구대의 가장자리에 반사된 후 점 F’에 있는 공에 부딪힌다.

이것은 ‘타원의 한 초점에서 나간 빛은 타원에 반사된 후 다른 초점을 지나간다.’는 타원의 광학적 성질에 의한 것이다.

이에 대하여 알아보자.

▶ 증명

[그림 1]과 같이 의 연장선 위에 이 되도록 점 R를 잡는다. 또, ∠F’PR 의 이등분선을 직선 이라고 하고, 위에 P와 다른 점 Q를 잡는다.

 

[그림 1]

⑴ 이다.
∠QPR=∠QPF, , 는 공통이므로

△QPR ≡ △QPF(SAS합동)

따라서 

그러므로 가 성립한다.

⑵ 직선 은 타원의 접선이다.

이므로 점 Q는 타원 위의 점이 아니다. 즉, 직선 과 타원의 교점은 점 P하나뿐이다.

따라서 직선 은 점 P에서의 타원의 접선이다.

⑶ ∠F’PS = ∠FPQ이다.

[그림 2]

[그림 2] 와 같이 직선 PQ 위에 점 S를 잡으면 직선 이 ∠FPR의 이등분선이라는 가정과 맞꼭지각의 성질에 의하여 ∠F’PS=∠FPQ이다.

이제 타원의 초점이 있는 안쪽 면을 거울이라 하고 한 초점 F에 광원을 놓았다고 하자. 그러면 빛의 입사각과 반사각의 성질에 의하여 초점 F에서 나온 빛은 거울에 반사된 후 다른 초점 F’을 향하여 나아간다.

 

○ 체외 충격파 쇄석기

타원의 광학적 성질은 의료 기기나 건축물의 설계에 이용되고 있다.

신장 결석을 제거할 때, 체외 충격파 쇄석기라는 의료 기기를 사용한다. 체외 충격파 쇄석기는 타원의 광학적 성질을 이용하여 신장 속에 있는 결석을 파괴한다. 우선 결석의 위치를 확인하고 타원 모양의 튜브에서 한 초점의 위치에 결석이 오게 한다. 그리고 타원의 다른 한 초점에서 충격파를 쏘면 이 충격파는 결석이 위치한 다른 초점에 모여서 결석을 깨뜨린다.

치과에서 사용하는 조명등도 타원의 광학적 성질을 이용하여 만든 것이다.

○ 타원을 활용한 건물

영국 런던의 세인트 폴 대성당에 있는 ‘속삭이는 회랑 ’은 이와 같은 타원의 광학적 성질을 이용하여 설계된 건물이다. 이 회랑은 타원을 회전시킨 입체를 절반으로 자른 형태로 되어 있는데, 타원의 한 초점에 해당하는 위치에 서서 속삭이면 다른 위치에 있는 사람은 들을 수 없어도 다른 초점의 위치에 서 있는 사람은 들을 수 있다. 타원의 한 초점에서 난 소리가 타원 모양의 벽에 반사된 후 다른 초점으로 모이기 때문이다.

미국 국회의사당의 내셔널 스태추어리 홀(National Statuary Hall)도 ‘속삭이는 회랑’ 효과를 낸다고 알려져 있다. 

[속삭이는 화랑]

 [내셔널 스태추어리 홀]

(출처 : 동아출판사)

타원을 이용하여 활용되는 기기나 분야는 다양할 것이다. 그중 타원이 활용되는 기기나 건물등에 대하여 알아보았다.