수학적 귀납법을 이용한 이항정리의 증명

■ 수학적 귀납법을 이용한 이항정리의 증명

                                                                                              

n이 자연수일 때,

            

위 식은 이항정리이다.

 

수학적 귀납법을 이용하여 이항정리를 증명하여 보자.

 

1) n=1일 때

(좌변)

(우변)

따라서 n=1일 때 주어진 등식은 성립한다.

 

2) n=k 일 때 주어진 등식이 성립한다고 가정하면

이제 n=k+1일 때에도 주어진 등식이 성립하는지 알아보자.

여기서 양변에 (a+b)를 곱하면

                 
                 

그런데 ,

파스칼의 삼각형의 원리에 의하여 이므로

(주어진 식) 
                 
                 
                 

곧, n=k+1일 때에도 주어진 등식이 성립한다.

1), 2) 에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 주어진 식이 성립한다.