삼각부등식

■ 삼각부등식

 

각의 크기가 미지수인 삼각함수를 포함하는 부등식을 삼각부등식이라고 한다. 먼저 제한된 범위에 있는 부등식의 해를 구하는 과정(이때 해를 특수해라 한다)을 알아보고 일반해를 알아보자. 삼각부등식의 해를 구하는 과정은 두 가지 경우로 생각해 볼 수 있는데 단위원을 이용하는 방법과 그래프를 이용하는 방법이 있다.

 

삼각부등식의 해

 

인 범위에서 부등식 인 해를 구해보자.

1. 단위원을 이용하는 방법

인 범위에서 을 만족하는 x의 값은 또는 이다.

위 그림처럼 단위원과 직선 의 두 교점을 P, P′ 이라고 하면 부등식 의 해는 단위원에서 P의 x좌표가 보다 큰 동경 OP의 각의 범위이다.

따라서 구하는 해는 또는 이다.

2. 그래프를 이용하는 방법

부등식 의 해는 다음과 같이 의 그래프가 직선 보다 위쪽에 있는 x의 값의 범위이다.

위의 그림에서 두 그래프의 교점의 x좌표는 또는 이므로 부등식 의 해는 또는 이다.

3. 부등식의 일반해

부등식의 일반해는 제한된 범위에서 구한 해를 이용하여 일반해를 구할 수 있다. 는 주기가 인 주기함수이므로 일반적으로 일반해를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

또는 이다. (단, n은 정수)

 

삼각부등식의 해를 구할 때는 삼각방정식의 해를 구하고 부등식을 만족하는 범위를 정해주면 된다.

삼각방정식의 일반해 삼각함수의 합성 배각공식 및 반각공식