삼각방정식의 일반해

■ 삼각방정식의 일반해

각의 크기가 미지수인 삼각함수를 포함하는 방정식을 삼각방정식이라 한다.

특정한 범위에서 구한 삼각방정식의 해를 특수해라 하고, 삼각방정식을 만족하는 값을 일반각으로 나타낸 것을 삼각방정식의 일반해라고 한다. (아래 삼각방정식에서 ①과 같이 특정한 범위에서 구한 해를 특수해라 하고, ②와 같이 일반각으로 나타낸 해를 일반해라고 한다.)

여기에서 삼각방정식의 일반해를 구하는 과정을 알아보자.

삼각방정식 을 만족하는 일반해을 구하여 보자.

 

1. 단위원을 이용하는 방법

의 범위에서 을 만족하는 특수해 의 값은

또는 …… ①

여기서 는 주기가 인 주기함수이므로 일반각은

또는 (n은 정수)

와 같이 나타낼 수 있다.

이것을 하나의 식으로 나타내면 다음과 같다.

(단, n은 정수)           …… ②

 

따라서

의 일반해 (특수해가 이면)

⇨ (단, n은 정수)

 

2. 삼각함수의 그래프를 이용하는 방법

의 범위에서 을 만족하는 특수해 의 값은

라고 하면

의 일반해 (특수해가 이면)

⇨ (단, n은 정수)

 

이와 같이 삼각방정식의 일반항을 구하는 방법은 단위원을 이용하는 방법과 그래프를 이용하는 방법이 있다. 그러나 그래프를 이용하는 방법을 많이 이용하는 방법이라 cos, tan 삼각방정식의 일반해는 그래프를 이용하는 방법으로 구해보자.

의 일반해는?

의 범위에서 을 만족하는 특수해 의 값은

라고 하면

의 일반해 (특수해가 이면)

⇨ (단, n은 정수)

 

(a는 실수)의 일반해는?

의 범위에서 을 만족하는 특수해 의 값은

라고 하면 

(a는 실수)의 일반해 (특수해가 이면)

⇨ (단, n은 정수)

 

삼각방정식의 일반해

(1) 의 한 특수해가 이면

⇨ (단, n은 정수)

(2) 의 한 특수해가 이면

⇨ (단, n은 정수)

(3) 의 한 특수해가 이면

⇨ (단, n은 정수)

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