등비수열의 수렴과 발산

■ 등비수열의 수렴과 발산

1. 등비수열의 수렴과 발산

등비수열 의 수렴, 발산은 공비 r의 값에 따라 다음과 같이 결정된다.

(1) r>1 일 때, (발산)

(2) r=1 일 때, (수렴)

(3) 일 때, (수렴)

(4) r<-1일 때, 수열 은 진동한다. (발산)

 

2. 등비수열의 수렴 조건

(1) 등비수열 이 수렴하기 위한 조건  

(2) 등비수열 이 수렴하기 위한 조건   또는 

 

▷ 등비수열 의 수렴, 발산을 공비 r의 값에 따라 알아보면

(1) r>1일 때, r=1+h (h>0) 로 놓으면

이때 이므로 

(2) r=1 일 때, 수열의 모든 항이 1이므로 

(3) -1<r<1 일 때, 

   (i) r=0 이면 수열의 모든 항이 0이므로 

   (ii) 이면 이므로 (1)에 의하여 

     따라서 이므로 

(4) 일 때,

   (i) r=-1 이면 수열 은 이므로 진동한다.

   (ii) r<-1 이면 이므로 (1)에 의하여 이고,
     수열 의 각 항의 부호가 교대로 변하면서 그 절대값이 한없이 커지므로 진동한다.