급수와 수열의 극한 사이의 관계

■ 급수와 수열의 극한값 사이의 관계

급수가 수렴할 때 수열의 극한이 0이 됨을 이용하여 문제를 해결하는 경우가 많다. 

또한 급수가 발산하는지를 알아보기 위해서 수열의 극한값을 이용하여 알아 볼수 있다. 

 

급수 의 수렴, 발산과 수열 의 극한값 사이의 관계를 알아보자.

급수 이 에 수렴할 때, 이 급수의 제n항까지의 부분합을 이라고 하면

, 

이다.

이때 이므로

따라서 급수 이 수렴하면 이다.

또 이 명제의 대우도 성립하므로

이면 급수 은 발산한다.

 

이상을 정리하면 다음과 같다.

(1) 급수 이 수렴하면 이다.

(2) 이면 급수 은 발산한다.

 

(1)의 역은 성립하지 않는다.

즉, 이라고 해서 급수 이 반드시 수렴하는 것은 아니다.

(2)는 급수가 발산함을 보일 때 유용하다.

등비수열의 수렴과 발산 등비급수의 수렴과 발산