중복조합의 수를 이용하여 조건에 맞는 경우의 수 구하는 방법

■ 중복조합의 수를 이용하여 조건에 맞는 경우의 수 구하는 방법

 

중복조합의 수를 이용하여 조건을 만족시키는 경우의 수 구하는 문제 또는 중복 조합의 수를 이용하여 방정식을 만족시키는 해의 개수를 구하는 문제

중복조합의 수 또는 방정식을 만족시키는 해의 개수를 구하는 문제에서 다음 조건 홀수, 짝수, 크기 조건이 들어 있을 경우 다음과 같이 놓고 해결하면 유용하게 해결할 수 있다.

 

1. a가 홀수일 때  ⇨ a=2a’+1 (a’은 음이 아닌 정수)

 

문제> 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 a, b, c, d의 모든 순서쌍 의 개수를 구하여 보자.

(가)  

(나) a는 홀수이다.

 

풀이) a가 홀수이므로 a=2a’+1 (a’은 음이 아닌 정수)

(2a’+1)+b+c+d=6

2a’+b+c+d=5

a’=0이면 b+c+d=5를 만족하는 개수는

a’=1이면 b+c+d=3를 만족하는 개수는

a’=2이면 b+c+d=1를 만족하는 개수는

따라서 21+10+3 = 34

2. a가 짝수일 때 ⇨ a=2a’+2 (a’은 음이 아닌 정수)

 

문제> 자연수 a, b, c, d에서 a+b+c+d=12를 만족시키면서 모두 짝수인 순서쌍 의 개수를 구하여 보자.

 

풀이) a, b, c, d가 모두 짝수이므로

a=2a’+2, b=2b’+2, c=2c’+2 , d=2d’+2 (a’, b’, c’, d’은 음이 아닌 정수)

로 놓으면

2a’+2b’+2c’+2d’+8=12

a’+b’+c’+d’=2

따라서

3. 일 경우 ⇨ a=a’+b (a‘은 음이 아닌 정수)

문제> 음이 아닌 정수 a, b, c, d에서 이고 a+b+c+d=6 인 모든 순서쌍 의 개수를 구하여 보자.

 

풀이) 이므로

a=b+a’ (a‘은 음이 아닌 정수) 로 놓는다.

b+a’+b+c+d=6

a’+2b+c+d=6

(1) b=0 이면 a’+c+d=6

(2) b=1이면 a’+c+d=4

(3) b=2이면 a’+c+d=2

(4) b=3이면 a’+c+d=0

1가지이다.

따라서

28+15+6+1=50

4. a>b일 경우 ⇨ a=a’+b+1 (b’은 음이 아닌 정수)

문제> 네 명의 학생 A, B, C, D에게 같은 종류의 초콜릿 8개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하여 보자.

(가) 각 학생은 적어도 1개의 초콜릿을 받는다.

(나) 학생 A는 학생 B보다 더 많은 초콜릿을 받는다.

 

풀이) 네명의 학생에 모두 초콜릿을 1개씩 나누어 주고 나서 생각하자.

4개의 초콜릿을 네명의 학생에게 나눠주는 경우로 생각할 수 있다.

네명의 학생에게 각각 a, b, c, d개를 준다고 하면 a+b+c+d=4 (a, b, c, d는 음이 아닌 정수)이다.

여기에서 a>b이므로

a=a’+b+1 (a’은 음이 아닌 정수)

라 하면

a’+2b+c+d=3

b=0인 경우

a’+c+d=3

b=1인 경우

a’+2b+c+d=1

따라서

10+3=13

중복조합