기하적 확률(기하학적 확률)

■ 기하적 확률(기하학적 확률)

 

수학적 확률의 정의를 길이, 넓이, 부피, 시간등과 같이 연속적인 표본공간으로 확대하여 확률을 생각해 볼 수 있다. 근원사건이 연속적으로 변하여 경우의 수를 셀 수 없을 때 또는 각 사건이 일어나는 확률이 어떤 영역의 크기와 관계있을 때 어떤 사건 A의 확률을 다음과 같이 구할 수 있다. 연속적인 변량을 크기로 갖는 표본공간의 영역 S안에서 각각의 점을 택할 가능성이 같은 정도로 기대 될 때, 영역 S에 포함되어 있는 영역 A에 대하여 영역 S에서 임의로 택한 점이 영역 A에 속할 확률 P(A)는 다음과 같다.

이것을 사건 A가 일어날 기하적 확률이라 한다.

 

예를 들면

1. 길이가 10cm인 실이 있다. 이 실을 가위로 한 번 잘라 두 부분으로 만들 때 실의 한 부분의 길이가 7cm이상일 확률을 구하시오.

풀이) 가위로 자를 수 있는 부분은

위 그림처럼 왼쪽 3cm 부분 또는 오른쪽 3cm부분이다. 따라서 구하는 확률은

이다.

 

2. 한변의 길이가 10cm인 정사각형 모양의 타일이 있다. 반지름의 길이가 2cm인 동전 한 개를 중심이 타일 안에 놓이도록 할 때, 동전이 1장의 타일 안에 완전히 놓일 확률을 구하시오.

풀이) 그림과 같이 색칠한 정사각형의 내부(경계선 포함)에 동전의 중심이 놓이면 동전이 타일 안에 완전히 놓이므로 구하고자 하는 확률은 다음과 같다.

이다.

 

3. 그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정사각형 ABCD 내부에 임의로 한점 P를 택할 때, △ABP가 예각삼각형이 될 확률을 구하시오.

풀이) 그림과 같이 선분 AB의 중점을 O로 잡고 반원의 바깥쪽의 색칠한 부분에 점 P가 있을 때 △ABP가 예각삼각형이므로 구하는 확률은 다음과 같다.

이다.

이상과 같이 영역의 길이나 면적을 통해 기하학적으로 확률을 구할 수 있다.

확률과 통계 마인드맵