이항분포의 평균과 분산 미분을 이용한 증명

■ 이항분포의 평균과 분산, 표준편차의 미분을 이용한 증명

 

확률변수 X가 이항분포 B(n,p)를 따를 때 X의 평균 와 분산 를 미분을 이용하여 구해보자. (단, p+q=1)

 

1. 의 미분법을 이용한 증명

이항정리에 의하여 을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

양변을 x대하여 미분하면

양변에 x를 곱하면

-----①

<!--[if !supportLists]-->    ①   <!--[endif]-->에 x=p를 대입하면

이때 이므로
 (∵ p+q=1 )

 

2. 의 미분법을 이용한 증명

이므로 ①의 양변을 x에 대하여 미분하면

위 식에서 곱하기 미분법을 이용하여 미분하면

양변에 x를 곱하면

-----②

②에 x=p를 대입하면

이때 이므로

따라서 분산 는

 

이상 확률변수 X가 이항분포 B(n,p)를 따를 때 X의 평균과 분산은  이다.

표준편차는 이다.

이상 미분법을 이용하여 확률변수 X가 이항분포B(n,p)를 따를 때 평균과 분산을 증명할 수 있다.

이항분포의 평균과 분산