피타고라스의 정리 증명

■ 피타고라스의 정리

 

직각삼각형의 빗변의 제곱은 다른 두 변의 제곱의 합과 같다.

 

즉, 직각삼각형 ABC에서 직각을 낀 두 변의 길이를 각각 a. b라 하고 , 빗변의 길이를 c라고 할 때 이 성립한다.

이 피타고라스 정리의 피타고라스 이후 많은 학자들이 연구하여 가능한 모든 방법을 찾아진 것으로 생가되며 그 방법의 수가 200개 이상이 있다고 한다. 많은 증명 중에서 몇 가지 증명법을 제시해 보고자 한다.

 

피타고라스 증명법 (01)

 

그림과 같이 직각삼각형 ABC에서 두 변 CA, CB를 연장하여 한 변의 길이가 a+b인 정사각형 CDFH를 그리면, 사각형 AEGB는 네 변의 길이가 모두 같다.

삼각형의 내각의 합은 이므로

∠BAC +∠EAD=이므로

□AEGB는 정사각형이다.

정사각형 CDFH는 서로 합동인 네 개의 직각삼각형(△ABC≡△BGH≡△GEF≡△EAD)과 한 개의 정사각형 AEGB로 나누어지므로

□CDFH=4×△ABC+□AEGB

□CDFH=, △ABC=, □AEGB=이므로

따라서

 

피타고라스 증명법 (02)- 정사각형을 분할하는 방법으로 증명

 

                   [그림1]

                  [그림2]

 

[그림1]과 [그림2]의 큰 정사각형의 넓이가 서로 같으므로

[그림1]의 넓이 =

[그림2]의 넓이 =

따라서

 

피타고라스 증명법 (03)- 유클리드의 증명

 

그림에서 □ADEB, □ACHI, □CBFG는 모두 정사각형

△IAC와 △IAB의 밑변의 길이와 높이가 각각 같으므로

△IAC=△IAB

△IAB와 △CAD에서

선분 IA = 선분 CA , 선분 AB= 선분 AD, ∠IAB=∠CAD 이므로

△IAB ≡ △CAD (SAS합동)

△IAB = △CAD

또한 △CAD와 △MAD의 밑변의 길이와 높이가 각각 같으므로

△CAD=△MAD

즉, △IAC=△MAD이므로

□ACHI = □ADNM

같은 방법으로 □CBFG=□MNEB

따라서 □ADEB=□ACHI+□CBFG이므로

 

피타고라스 증명법 (04)- 바스카라의 증명

 

그림에서 한변의 길이가 c인 정사각형에서

△ABC , △BDF , △DEG , △EAH는 모두 합동이다.

□ADDE=□FGHC+4×△ABC이므로

 

피타고라스 증명법 (05)- 윌리스의 증명

삼각형의 닮음을 이용한 증명법

직각삼각형 ABC에서

△ABC 와 △ACD 은 닮았으므로

즉 c : b = b : x

또 △ABC와 △CBD는 닮았으므로

즉, c : a = a : y

따라서

 

피타고라스 증명법 (06)- 가필드의 증명

 

사다리꼴 BCDE의 넓이 =

□BCDE=△BCA + △ADE + △BAE

따라서

 

피타고라스 증명법 (07)

 

그림에서 점 H는 반원 AHB 위에 있는 임의의 점이다.

선분 AB를 지름으로 하는 원주각은 직각이므로 삼각형 AHB는 직각삼각형이다.

정사각형 ABFD를 그리고, 선분 AB에 수직인 선분 EC를 긋는다.

△ABH와 △HBC가 닮은 삼각형이므로

△ABH와 △AHC가 닮은 삼각형이므로

□ABFD = □BFEC + □ACED

= ( 이므로)

=

=

따라서

 

피타고라스 증명법 (08)

그림과 같이 선분 DE의 연장선에 가 되도록 점 F를 잡는다.

△ABC와 △AFE는 합동이므로

□ACDE=□ABDF=

□ABDF

따라서

 

피타고라스의 수