피타고라스의 수

■ 피타고라스의 수

에 관한 방정식

을 만족시키는 정수의 쌍 를 ‘피타고라스의 수’라고 한다.

피타고라스의 수는 무수히 많이 존재한다는 것을 입체사영을 이용하여 보여보자.

실수 전체의 집합을 R, 중심이 원점인 단위원에서 한 점 N(0, 1)을 제외한 집합을 S라 하면

이라고 할 때,

다음과 같이 정의되는 사상 를 극사영이라고 부른다.

이때 단위원에서 제외한 점 N(0,1)로부터 S의 점 P(x, y)에 빛을 비추면 그 점의 그림자가 x축 위에 생긴다.

x축 위에 있는 이 그림자의 좌표를 T(t, 0)이라고 할 때, 로 정의한다.

이때, 그림과 같은 두 개의 직각삼각형 △NQP, △NOT는 서로 닮은 도형이므로

닮은비에 의하여

가 성립한다.

이 식을 이용하여 극사영 를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

단위원 위의 점 (x, y)에 대하여 이므로 위의 식을 이용하여 x, y를 t로 나타내면

이다.

위 식을 이용하여 피타고라스의 수를 구하는 방법은 다음과 같다.

을 양변을 으로 나누면

이 되고 여기서 라고 놓으면

이 된다.

피타고라스의 수를 만족시키는 자연수의 쌍 를 구하는 것은 결국 을 만족시키는 유리수의 쌍 를 구하는 것과 같다.

적당한 실수 t에 대하여

와 같이 표현할 수 있다.

따라서 과 같이 주어지는 세 수는 ‘피타고라스의 수’가 된다.

예를 들면 t=2일 때

(4, 3, 5)라는 피타고라스의 수를 구할 수 있다.

t의 값에 의하여 피타고라스의 수는 무수히 많음을 알 수 있다.

피타고라스(Pythagoras)