등비급수의 수렴과 발산

■ 등비급수의 수렴과 발산

등비급수 의 수렴, 발산에 대하여 알아보자.

등비급수 의 제n항까지의 부분합을 이라 하면

이므로

이면 

r=1이면 

이다.

따라서 등비급수 의 수렴과 발산은 r의 값에 따라 다음과 같이 결정된다.

(1) 일 때

이므로

따라서 등비급수 은 수렴하고, 그 합은 이다.

(2) r=1일 때

이므로 등비급수 은 발산한다.

(3) r>1일 때

이므로 등비급수 은 발산한다.

(4) 일 때

이므로 등비급수 은 발산한다.

 

이상을 정리하면 다음과 같다.

 

등비급수의 수렴과 발산

등비급수 은

(1) 일 때, 수렴하고 그 합은 이다.

(2) 일 때, 발산한다.

 

※ 등비수열의 수렴조건과 등비급수의 수렴조건

(1) 등비수열 의 수렴 조건 ⇒ 또는 

(2) 등비급수 의 수렴조건 ⇒ 또는 

등비수열의 수렴과 발산 급수와 수열의 극한 사이의 관계