좌표축 또는 곡선 사이의 넓이

■ 넓이

1. 곡선과 좌표축 사이의 넓이

(1) 곡선과 x축 사이의 넓이

함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속일 때, 곡선 y=f(x)와 x축 및 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 도형의 넓이 S는

 

(2) 곡선과 y축 사이의 넓이

함수 g(y)가 닫힌구간 [c, d]에서 연속일 때, 곡선 x=g(y)와 y축 및 두 직선 y=c, y=d로 둘러싸인 도형의 넓이 S는

 

2. 두 곡선 사이의 넓이

두 함수 f(x), g(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속일 때, 두 곡선 y=f(x), y=g(x) 및 두 직선 x=a, x=b 로 둘러싸인 도형의 넓이 S는

3. 함수와 그 역함수의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이

함수와 그 역함수로 둘러싸인 부분의 넓이는 두 함수 사이의 넓이는 역함수를 구하여 넓이를 구하기가 힘든 경우가 많다. 따라서 함수와 그 역함수가 y=x에 대하여 대칭이므로 함수와 y=x로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 것이 유용하다.

 

(1) 함수 y=f(x)의 그래프와 그 역함수 y=g(x)의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이 ⇨ 곡선 y=f(x)와 직선 y=x로 둘러싸인 부분의 넓이의 2배

 

(2) 역함수와 넓이의 관계(원래 함수의 정적분과 역함수의 정적분의 합)

증가함수 f(x)의 역함수가 g(x)이고 a, b, c, d가 양수일 때, f(a)=c, f(b)=d이면

⇨ 

   =(위끝의 곱) - (아래끝의 곱)

 

▷ 증명

역함수의 관련된 문제는 원래 함수와 그 역함수의 그래프가 y=x에 대하여 대칭인 관계라는 것을 알고 대칭관계를 이용하여 문제를 해결하는 것이 유용하다.

증명1)

 

① f(a)=c, f(b)=d이므로 점들의 배치는 [그림1]과 같다.

②  는 [그림2]의 A의 넓이

   는 [그림2]의 B의 넓이

③ B는 직선 y=x에 대하여 대칭시키면 [그림3]의 C와 같다.

따라서 구하는 넓이는 [그림3]의 A+C가 된다.

 (큰 직사각형의 넓이)-(작은 직사각형의 넓이)

 =bd-ac

 

증명2)

원래함수 f(x)에 x대신 y, y대신 x를 대입하면 역함수 g(x)가 된다.

따라서 y=f(x)의 그래프와 x축을 y축으로, y축을 x축으로 보면 y=g(x)의 그래프가 된다.

구분구적법 이차함수의 편리한 정적분(면적) 정적분과 급수의 합 사이의 관계