정적분과 급수의 합 사이의 관계

■ 정적분과 급수의 합 사이의 관계

미적분의 기본정리에서

함수  가 닫힌구간 [a, b]에서 연속일 때,  의 한 부정적분  에 대하여  의 a에서 b까지의 정적분

곡선  와 x축 및 두 직선  로 둘러싸인 도형의 넓이 S는

미적분의 기본정리 즉 정적분의 정의와 넓이 사이에는 밀접한 관계가 있다.

정적분은 구분구적법과 급수의 합을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

급수의 합을 이용한 정적분의 정의

함수  가 닫힌구간 [a, b]에서 연속일 때,

 (단,  )

를 함수  의 a에서 b까지의 정적분이라 한다.

 

정적분과 급수의 합의 관계 설명

함수  가 구간 [a, b]에서 연속이고  일 때, 곡선  와 x축 및 두 직선  로 둘러싸인 도형의 넓이 S를 구해보자.

구간 [a, b]를 n 등분 하여 양 끝점과 각 분점의 x좌표를 차례대로

라 할 때, 또 소구간의 길이를  라고 하면

 ,  

이때

  

여기에서 n의 값이 한없이 커질 때  은 도형의 넓이 S에 한없이 가까워지므로

이때 정적분과 넓이의 관계에 따라  이므로

 (단,  )

 

적분변수에 따른 정적분과 급수의 합의 관계

 에 의해 급수는 다음과 같은 대응으로 정적분으로 바뀐다고 생각하면 된다.

 ,  , 

급수를 정적분으로 바꿀 때는 아래끝과 위끝, x로 바뀌는 것, dx로 바뀌는 것 3가지만 찾아내면 된다.

(1)  의 계수

(2) 아래끝  일 때의 값

(3) 위끝  일 때의 값

 

1.  ⇦ 정적분의 정의

2.  ⇦ 1 에서 

3.  ⇦ 2 에서 a=0, 아래끝이 0이 고정

4.  ⇦ 3에서  , 적분구간이 [0,1]로 고정

정적분의 정의 구분구적법 치환적분법