입체도형의 부피

■ 입체도형의 부피

닫힌구간 [a, b]의 임의의 점 x에서 x축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 S(x)일 때, 이 입체도형의 부피 V는

(단, S(x)는 닫힌구간 [a, b]에서 연속)

 

▷ 설명

어떤 입체도형이 주어졌을 때, 한 직선을 x축으로 정하여 x좌표가 a, b(a<b)인 두 점을 지나고 x축에 수직인 두 평면 사이에 있는 부분의 부피 V를 구해 보자.

x축 위의 닫힌구간 [a, b]를 n등분 하여 양 끝점과 각 분점의 x좌표를 차례대로

라 할 때, 각 소구간의 길이를  라 하면

 ,

 

이때 단면의 넓이가   이고

높이가  인 n개의 기둥의 부피의 합  은

따라서 입체도형의 부피 V는 정적분과 급수의 합의 관계에 의하여 다음과 같다.

  

구분구적법 좌표축 또는 곡선 사이의 넓이 정적분과 급수의 합 사이의 관계