이차함수의 최대, 최소

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■ 이차함수의 최대, 최소

1. 최대값, 최솟값

어떤 함수의 함숫값 중에서 가장 큰 값을 그 함수의 최댓값,
가장 작은 값을 그 함수의 최솟값이라고 한다.

2. 이차함수의 최댓값, 최솟값

이차함수 의 최댓값과 최솟값은 이차함수의 식을 의 꼴로 고쳐서 구할 수 있다.

일반적으로 이차함수 의 최댓값과 최솟값은 다음과 같다.

▶ 이차함수의 최댓값과 최솟값

이차함수 는

(1) a>0일 때, x=p에서 최솟값 q를 갖고, 최댓값은 없다.

(2) a<0일 때, x=p에서 최댓값 q를 갖고, 최솟값은 없다.

3. 제한된 범위에서 이차함수의 최댓값과 최솟값

일반적으로 x의 값의 범위가 일 때, 이차함수 의 최댓값과 최솟값은 의 그래프의 꼭짓점의 x좌표인 p의 값에 따라 다음과 같다.

(1) p가 에 속할 때, 즉 이면 , , 중에서 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이다.

(2) p가 에 속하지 않을 때, 즉 또는 이면 , 중에서 큰 값이 최댓값, 작은 값이 최솟값이다.

4. 실수 x, y에 대한 이차식의 최댓값과 최솟값

실수 x, y에 대하여 문자를 두 개 포함하는 경우 주어진 이차식의 최댓값과 최솟값 문제의 해결 방법은 다음과 같은 방법을 사용하면 유용하다.

⇨

(1) 완전제곱꼴

x, y에 대한 이차식의 최대, 최소는

와 같이 완전제곱꼴로 변형한 후 임을 활용

(2) 판별식

조건식으로 주어진 x, y에 대한 이차식의 최대,최소는

한 문자에 대한 이차방정식으로 정리한후 판별식을 이용

➀ x의 최대, 최소 : y에 대하여 정리한 이차방정식의 판별식을 D라 할 때, D≥0임을 이용

② y의 최대, 최소 : x에 대하여 정리한 이차방정식의 판별식을 D라 할 때, D≥0임을 이용

예제)

(1) x, y가 실수일 대 의 최솟값은?

풀이)

x, y가 실수이므로

따라서 x=1, y=-1일 때, 최솟값 2

(2) x, y가 실수일 때 을 만족시킬 때, x의 최댓값, 최솟값은?

풀이) 주어진 식을 y에 대하여 정리하면

y가 실수이므로 판별식을 D라하면

따라서 –1≤x≤3

x의 최댓값 : 3, 최솟값 : -1