선분의 내분점과 외분점

■ 선분의 내분점과 외분점

1. 수직선 위에 있는 선분의 내분점과 외분점

수직선 위의 두 점 를 잇는 선분 AB를 m : n (m>0, n>0)으로 내분하는 점 P, 외분하는 점을 Q라하고, 선분 AB의 중점을 M이라 하면 (1) 내분점 :  (2) 외분점 : (단, ) (3) 중점 :

 

▷증명

수직선 위의 두 점 를 잇는 선분 AB를 m : n (m>0, n>0)으로 내분하는 점 P, 중점을 M이라 하면

(1) 내분점

일 때, , 이므로

에서

따라서 

(2) 중점

특히, m=n이면 점 P는 선분 AB의 중점이고 그 좌표는

(3) 외분점

선분 AB를 m : n 으로 외분하는 점 Q라 하면

일 때,

(ⅰ) m>n이면 이므로

에서

(ⅱ) m<n이면 이므로

에서

(ⅰ), (ⅱ)에서 

따라서 

 

2. 좌표평면 위에 있는 선분의 내분점과 외분점

좌표평면 위의 두 점 를 잇는 선분 AB를 m : n (m>0, n>0)으로 내분하는 점을 P, 외분하는 점을 Q라 하고, 선분 AB의 중점을 M이라 하면 (1) 내분점 :  (2) 외분점 : (단, ) (3) 중점 :

 

▷ 증명

(1) 내분점

세 점 A, P, B에서 x축에 내린 수선의 발을 각각 A’, P’, B’이라고 하면

 

이므로 점 P’은 선분 A’B’을 m : n으로 내분하는 점이고

같은 방법으로 y도 내분하는 점임.

(2) 중점

P는 선분 AB를 1:1로 내분하는 점이 중점이므로

(3) 외분점

세 점 A, B, Q에서 x축에 내린 수선의 발을 각각 A’, B’, Q’이라고 하면

 

이므로 점 Q’은 선분 A’B’을 m : n으로 외분하는 점

같은 방법으로 y값도 외분하는 점임

평면벡터에서 점 P의 위치(내분점과 벡터의 합) 두 점 사이의 거리