두 직선의 위치관계

■ 두 직선의 위치관계

 

1. 두 직선의 위치관계

▷ 증명

(1) 평행

그림과 같이 두 직선

y=mx+n , y=m’x+n’

이 서로 평행하면 두 직선의 기울기는 같고 y절편은 같지 않으므로

거꾸로 이면 두 직선은 서로 평행하다.

 

(2) 수직

두 직선 y=mx+n , y=m’x+n’이 수직이면

이 두 직선에 평행하고 원점을 지나는 직선 y=mx, y=m’x 도 수직

그림과 같이 직선 x=1과 두 직선의 교점을 각각 P, Q라 하면

P(1, m), Q(1, m’)

삼각형 OPQ는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의해

즉 

이 식을 정리하면

거꾸로 이면 이므로 삼각형 OPQ는

인 직각삼각형

따라서 두 직선은 서로 수직이다.

 

(3) 두직선 ax+by+c=0, a’x+b’y+c’=0의 위치 관계

두 직선의 방정식 ax+by+c=0, a’x+b’y+c’=0의 계수가 모두 0이 아닐 때,

두 직선의 방정식을 표준형으로 고치면

두 직선의 기울기는 각각 이고 y절편은 이다.

➀ 한 점에서 만난다 : ⇒ 

② 수직 : ⇨ aa’+bb’=0

➂ 평행 : ⇒ 

④ 일치 : ⇒ 

 

※ 평행한 두 직선은 기울기가 같고, 수직인 두 직선의 기울기의 곱은 –1

(1) 직선 y=mx+n에 평행한 직선의 기울기는 m

(2) 직선 y=mx+n에 수직인 직선의 기울기는 

 

2. 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식

두 직선 ax+by+c=0, a’x+b’y+c’=0의 교점을 지나는 직선 중에서

직선 a’x+b’y+c’=0을 제외한 직선의 방정식은

⇒ ax+by+c+k(a’x+b’y+c’)=0 (단, k는 상수)

 

즉, 직선 ax+by+c+k(a’x+b’y+c’)=0은 실수 k값에 관계없이

항상 두 직선 ax+by+c=0, a’x+b’y+c’=0의 교점을 지난다.

 

▷ 설명

항등식의 설질에서 등식 A+kB=0이 성립하기 위해서는

A=0, B=0이어야 한다.

따라서 ax+by+c+k(a’x+b’y+c’)=0가 실수 k값에 관계없이

항상 성립하기 위해서는

ax+by+c=0, a’x+b’y+c’=0이다.

즉, 두 직선 ax+by+c=0, a’x+b’y+c’=0의 교점을 지난다.

 

직선의 방정식 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계 점과 직선사이의 거리