명제

■ 명제

 

1. 명제와 조건

(1) 명제 : 참 , 거짓을 판별할 수 있는 문장이나 식

(2) 조건 : 변수 x를 포함하면서 x의 값에 따라 참, 거짓을 결정되는 문장이나 식

(3) 진리집합

전체집합 U의 원소 중에서 조건 p(x)가 참이 되는 x의 값의 집합을 조건

p(x)의 「진리집합」이라 한다. 조건 p(x)의 진리집합을 P라 하면

 

2. 명제와 조건의 부정

(1) 부정 : 명제 p에 대하여 「p가 아니다.」라는 명제를 p의 「부정」이라 하고, 이것을 ∼p (not p)로 나타낸다.

(2) 명제가 참이면 그 부정은 거짓이다.

(3) 조건과 진리집합

조건 p, q의 진리집합을 P, Q라 하면

조건	진리집합
∼p
∼(∼p)=p
p 또는 q	P∪Q
p 그리고 q	P∩Q
∼(p 또는 q) = ∼p 그리고 ∼q
∼(p 그리고 q) = ∼p 또는 ∼q

 

3. 명제 p → q

두 조건 p, q에 대하여 ‘p이면 q이다.’를 p → q 로 나타낸다.

p:가정, q:결론

p → q가 참일 때 p ⇒ q 로 나타낸다.

거짓일 때에는 p      q로 나타낸다.

특히, p ⇒ q 이고 q ⇒ p일 때 p ⇔ q 로 나타낸다.

 

명제 p → q의 참, 거짓

두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 할 때

(1) 명제 p → q가 참 ⇔ P⊂Q

(2) 명제 p → q가 거짓 ⇔ P    Q

 

4. ‘모든’ 또는 ‘어떤’이 들어 있는 명제

전체집합 U에 대하여 조건 p의 진리집합을 P라 할 때

(1) 명제 ‘모든 x에 대하여 p(x)이다.’의 참, 거짓

➀ P=U 이면 참

② P ≠ Q이면 거짓

(2) 명제 ‘어떤 x에 대하여 p(x)이다.’의 참, 거짓

➀ P ≠     이면 참

② P =     이면 거짓

 

5. 명제의 역과 대우

명제 p → q 에서

(1) 역 : q → p

(2) 대우 : ∼q → ∼p

(3) 명제와 그 대우의 참, 거짓은 항상 일치한다.

 

6. 삼단논법

p → q가 참이고 q → r 가 참이면 p → r 도 참이다.

집합