로그함수

■ 로그함수

 

지수함수 ( )은 실수 전체의 집합에서 양의 실수 전체의 집합으로의 일대일대응이므로 역함수가 존재한다.

로그의 정의에 의하여

            

가 성립하므로 에서 x와  y를 바꾸면 지수함수 의 역함수

              ( )

를 얻는다. 이 함수를 a를 밑으로 하는 로그함수라고 한다.

 

1. 로그함수 의 그래프

로그함수 ( )는 지수함수 의 역함수이므로 y=x에 대하여 대칭이다.

따라서 로그함수 의 그래프는 a의 값의 범위에 따라 다음 그림과 같다.

(1) 정의역은 양의 실수 전체의 집합이고, 치역은 실수 전체의 집합이다.

(2) a>1일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.

⇔ 이면 
0<a<1일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.

⇔ 이면 

(3) 그래프는 점 (1, 0)을 지나고, 점근선은 y축(x=0)이다.
※ 점근선의 방정식은 진수=0이 되는 값이다.

 

2. 로그함수의 그래프의 평행이동과 대칭이동

로그함수 ( )의 그래프를

(1) x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동

⇒ x 대신 x-m , y 대신 y-n 대입

⇒ 

 

(2) x축에 대하여 대칭이동

⇒ y 대신 –y 대입

⇒ 

 

(3) y축에 대하여 대칭이동

⇒ x 대신 –x 대입

⇒ 

 

(4) 원점에 대하여 대칭이동

⇒ x 대신 –x , y 대신 –y 대입

⇒ 

 

(5) 직선 y=x에 대하여 대칭이동

⇒ x 대신 y , y 대신 x 대입

⇒ 

3. 로그함수의 최대, 최소

정의역이 인 로그함수 ()은

(1) a>1이면 x의 값이 가장 작을 때 최솟값, 가장 클 때 최댓값을 갖는다.

⇒ x=m 일 때 최솟값 , x=n 일 때 최댓값 을 갖는다.

(2) 0<a<1이면 x의 값이 가장 작을 때 최댓값, 가장 클 때 최솟값을 갖는다.

⇒ x=m 일 때 최댓값 , x=n 일 때 최솟값 을 갖는다.

 

4. 최대, 최소 구하는 방법

(1) ( )에서 진수f(x)가 이차식인 경우

⇒ 진수인 이차식의 최대, 최소를 구한다.

① a>1 이면 f(x)가 최대일 때, 도 최대이다.

② 0<a<1이면 f(x)가 최소일 때, 도 최대이다.

 

(2) 꼴이 반복되는 경우

⇒ 로 치환한다.

 

(3) 지수에 로그가 있는 경우

⇒ 양변에 로그를 취한다.

 

(4) 합 또는 곱이 일정한 경우

⇒ 산술평균과 기하평균의 대소 관계를 이용한다.

a>0, b>0일 때, (단, 등호는 a=b일 때 성립)

지수함수 로그의 정의