함수의 수렴과 발산

■ 함수의 수렴과 발산

 

1. 함수의 수렴

(1) 함수 f(x)에서 x의 값이 a가 아니면서 a에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값이 일정한 값 L에 한없이 가까워지면 함수 f(x)는 L에 수렴한다고 한다. 이때 L을 함수 f(x)의 x=a에서의 극한값 또는 극한이라 하고, 이것을 기호로 다음과 같이 나타낸다.

또는 일 때 

 

(2) 상수함수 f(x)=c (c는 상수)는 모든 x의 값에 대하여 함숫값이 c이므로 a의 값에 관계없이 다음이 성립한다.

 

(3) 

⇔ x가 a에 한없이 가까워질 때, f(x)는 L에 한없이 가까워진다.

⇔ x가 a에 한없이 가까워질 때, f(x)는 L에 수렴한다.

⇔ 일 때 f(x)의 극한값은 L이다.

⇔ 일 때 

2. 함수의 발산

함수 f(x)에서 x의 값이 a가 아니면서 a에 한없이 가까워질 때, f(x)가 어느 값으로도 수렴하지 않으면 함수 f(x)는 발산한다고 한다.

※ 기호  는 ‘무한대’라 읽고,  는 x가 한없이 커지는 상태를 의미한다.

(1) 함수 f(x)에서 x의 값이 a가 아니면서 a에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값이 한없이 커지면 함수 f(x)는 양의 무한대로 발산한다고 하고, 이것을 기호로 다음과 같이 나타낸다.

또는 일 때 

(2) 함수 f(x)에서 x의 값이 a가 아니면서 a에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지면 함수 f(x)는 음의 무한대로 발산한다고 하고, 이것을 기호로 다음과 같이 나타낸다.

또는 일 때 

 

3. , 일 때의 극한

(1) x의 값이 양수이면서 그 절댓값이 한없이 커질 때, 즉 일 때 함수 f(x)의 극한을 로 나타낸다.

(2) x의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커질 때, 즉 일 때 함수 f(x)의 극한을 로 나타낸다.

 

함수 f(x)에서 x의 값이 한없이 커지거나 x의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커질 때, 함수 f(x)가 양의 무한대 또는 음의 무한대로 발산하면 이것을 각각 기호로 다음과 같이 나낸다.

 

예)

두 함수 , 의 그래프는 다음과 같으므로

,

※ 함수의 수렴과 발산은 그래프를 연상하여 생각하면 확실하게 이해할 수 있다.