귀납적으로 정의된 수열의 일반항 구하기

■ 귀납적으로 정의된 수열의 일반항

 

이고 인 경우

인 상수 p, q, r에 대하여

다음과 같이 귀납적으로 정의된 수열 의 일반항을 구하여 보자.

 

,

일 경우

 

이므로 

 

이때, 이면

수열 은 공차가 인 등차수열

따라서

(n=1,2,3,4,…)

 

이면

수열 은 공비가 인 등비수열

(n=2,3,4,…)

n=1이면 이므로 이 식은 n=1일 때에도 성립한다.

 

,

일 때 귀납적으로 정의되는 수열 의 일반항은

(1) 이면

(n=1,2,3,4,…)

(2) 이면

(n=1,2,3,4,…)

 

이고 인 경우

인 상수 p, q, r에 대하여

다음과 같이 귀납적으로 정의된 수열 의 일반항을 구하여 보자.

 

,

일 경우

 

주어진 식을 변형하여

----①

인 형태가 되도록 하는 상수 를 찾자.

 

주어진 식과 ①의 식을 비교하여 같게 만들면

이다.

따라서 는 이차방정식 의 두 근이다.

식 ①에서 수열 은 공비가 인 등비수열임을 알 수 있다.

따라서

----②

이다.

가 이차방정식의 두 근이므로

----③

로 고쳐쓸수 있다.

따라서

수열 은 공비가 인 등비수열이므로

----④

이다.

일 때, 식 ④에서 식 ②를 같은 변끼리 빼면

이므로

알맞은 상수 A, B를 사용하여

으로 나타낼 수 있다.

 

일 때, 식 ②의 양변을 로 각각 나누면

이므로

수열 은 등차수열이다.

따라서

이므로 알맞은 상수 A, B를 사용하여

으로 나타낼 수 있다.

 

인 상수 p, q, r에 대하여

,

일 때 귀납적으로 정의되는 수열 의 일반항은

이차방정식 의 두근을 라 할 때 (단, A, B는 상수)

(1) 이면

(2) 이면

수열의 귀납적 정의(점화식) 군수열 피보나치 수열