정적분의 정의

■ 정적분의 정의

 

함수 가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속일 때, 곡선 와 x축 및 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 도형의 넓이 S를 구분구적법을 이용하여 구하면

닫힌 구간 [a, b]를 n등분하여 양 끝점과 각 등분점을 차례로

이라 하고, 각 소구간의 길이를 라고 하면

이다. 

이때 그림과 같이 각 사각형 구간의 오른쪽 끝에서의 함숫값을 높이로 하는 직사각형의 넓이의 합을 이라고 하면

이다.

여기서 함수 는 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이므로 이면 은 구하는 도형의 넓이 S에 한없이 가까워진다.

일반적으로 함수 가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이면

가 항상 존재함이 알려져 있다.

이때 이 극한값을 함수 의 a에서 b까지의 정적분이라 하고, 기호로

와 같이 나타낸다.

 

이때 의 값을 구하는 것을 함수 를 a에서 b까지 적분한다고 하고, a를 아래끝, b를 위끝이라고 한다.

 

따라서 이상 정리하면 다음과 같이 정적분을 정의한다.

함수 가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속일 때

 

정적분의 기본정리는 다음과 같다.

닫힌 구간 [a, b]에서 연속인 함수 의 부정적분 중의 하나를 라고 하면

그래프로 둘러싸인 넓이를 정적분의 정의를 이용하여 구할 수 없다. 이를 해결하기 위해서는 함수가 주어졌을 때 정적분의 기본정리를 통하여 쉽게 면적을 구할 수 있다는 장점이 있다.

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