두 곡선의 공통인 접선

■ 두 곡선의 공통인 접선

 

두 곡선의 공통인 접선에 대하여 알아봅시다.

 

1. 한 점(a, b)에서 접할 때 공통인 접선

곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선과 곡선 y=g(x) 위의 점 (a,g(a))에서의 접선이 일치할 때 다음과 같은 조건이 성립해야 한다.

(1) x=a에서의 함수값이 같다.

즉, f(a)=g(a)=b

(2) x=a에서의 접선의 기울기가 같다.

즉, f′(a)=g′(a)

 

2. 접점이 서로 다를 때의 공통인 접선

곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선과 곡선 y=g(x) 위의 점 (b,g(b))에서의 접선이 일치할 때 다음과 같은 조건이 성립해야 한다.

(단, )

 

3. 두 곡선의 교점 (a, b)에서의 접선이 서로 수직일 때 직선

곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선과 곡선 y=g(x) 위의 점 (a,g(a))에서의 접선이 서로 수직일 때 다음과 같은 조건이 성립해야 한다.

(1) x=a에서의 함수값이 같다.

즉, f(a)=g(a)=b

(2) x=a에서의 두 접선의 기울기의 곱은 –1이다.

즉, f′(a)×g′(a)=-1 (단, )

▶ 정리하기

두 함수 f(x), g(x)가 미분가능할 때, 두 곡선 y=f(x), y=g(x)가

1. 점 (a, b)에서 접할 조건

(1) 

(2) 

2. 접점이 서로 다를 때 접할 조건

(단, )

3. 점 (a, b)에서 만나고, 이 점에서의 접선이 서로 수직일 조건

(1) 

(2) (단, )

원의 접선의 길이 및 공통접선의 길이 벡터로 나타내는 원의 접선의 방정식 타원의 접선의 성질 포물선의 접선의 성질