타원의 방정식

■ 타원의 방정식

 

1. 타원의 정의

평면 위의 서로 다른 두 점 F, F’으로부터의 거리의 합이 일정한 점의 집합을 타원이라고 한다.

(1) 초 점 : 두 점 F, F’

(2) 꼭짓점 : 타원과 두 축과의 교점 A, A’, B, B’

(3) 장 축 : 길이가 긴 선분 AA’

(4) 단 축 : 길이가 짧은 선분 BB’

(5) 중 심 : 장축과 단축의 교점

 

▶ 증명

두 점 을 초점으로 하고 그 두 점으로부터 거리의 합이 2a( )인 타원의 방정식은

타원 위의 임의의 점을 P(x, y)라 하면

타원의 정의에 의하여 

⇨ 

양변을 제곱하여 정리하면

이라 놓으면

  

2. 타원의 방정식

타원	두 초점 F(c, 0), F'(-c, 0) 으로부터의 거리의 합이 2a인 타원의 방정식	두 초점 F(0, c), F'(0, -c) 로부터의 거리의 합이 2b인 타원의 방정식
방정식	(단, , )	(단, , )
그래프
거리의 합 (=장축의 길이)
단축의 길이	2b	2a
초점의 좌표	(단, )	(단, )
꼭짓점	(a, 0), (-a, 0), (0, b), (0, -b)
중심	(0, 0)

3. 정리

(1) 타원은 두 점으로부터의 거리의 합이 일정한 점들의 집합

(2) 타원  위의 점 P에서 두 초점 F, F' 까지의 거리의 합은 장축의 길이와 같다.

⇒ =(장축의 길이)

⇒ a의 값이 크면 초점, 장축은 모두 x축 위에 있다.

⇒ b의 값이 크면 초점, 장축은 모두 y축 위에 있다.

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