정사영

■ 정사영

평면 밖의 한 점 P에서 평면 에 내린 수선의 발 P’을 점 P의 평면 위로의 정사영이라고 한다.

또, 도형 F의 각 점의 평면 위로의 정사영으로 이루어진 도형 F’을 도형 F의 평면 위로의 정사영이라고 한다.

 

 

■ 원의 정사영

평면 와 이루는 이면각의 크기가 인 평면 위에 있는 원의 평면 위로의 정사영은 타원임을 증명해 보자.

위의 그림과 같이 두 평면 의 교선 에 평행한 원 O의 지름을 선분 AB, 원 O 위의 임의의 점 P에서 선분 AB에 내린 수선이 두 직선 AB, 과 만나는 점을 각각 H, Q라고 하자. 원의 중심 O와 두 점 P, H의 평면 위로의 정사영을 각각 O’, P’, H’이라고 하면

……①

평면 는 점 O를 원점, 직선 AB를 x축으로 하는 좌표평면으로, 평면 는 점 O’을 원점, 직선 A’B’을 u축으로 하는 좌표평면으로 가정하자.

이때 점 P(x,y)가 인 원의 방정식을 만족시킬 때,

P’(u, v)로 놓으면 ①로부터

즉, 

이것을 에 대입하여 정리하면

………②

②는 장축의 길이가 2r, 단축의 길이가 인 타원의 방정식이므로 평면 위에 있는 원의 평면 위로의 정사영은 타원이다.

 

■ 반구의 정사영

다음 그림과 같이 평면 와 반구의 밑변이 평행하지 않을 때, 반구의 평면 위로의 정사영은 반원과 반타원으로 이루어진다. 정사영을 시켰을 때 입체도형이 정사영되는 부분을 잘 확인하고 체크해야 한다.

[Joy Of Math/생각넓히기] - 사영(사영기하학)