포물선의 방정식

■ 포물선

 

1. 포물선의 정의

평면 위의 한 점 F 와 그 점을 지나지 않는 한 직선 이 있을 때, 점 F 와 직선 에 이르는 거리가 같은 점의 집합(또는 자취)을 포물선이라 한다.

(1) 초점 : F

(2) 준선 : 직선

(3) 축 : 포물선의 초점을 지나고 준선에 수직인 직선(대칭축)

(4) 꼭지점 : 축과 포물선의 교점(점A)

  

2. 포물선의 방정식

(1) (단, ) 인 포물선의 방정식

포물선	초점이 F(p, 0), 준선이 x= -p인 포물선
방정식(표준형)	( )
그래프	p>0	p<0
초점	F(p, 0)
준선의 방정식	x= -p
꼭짓점	(0, 0)
축의 방정식	y=0 (x축)

(2)(단, ) 인 포물선의 방정식

포물선	초점이 F(0, p), 준선이 y= -p인 포물선
방정식(표준형)	( )
그래프	p>0	p<0
초점	F(0, p)
준선의 방정식	y= -p
꼭짓점	(0, 0)
축의 방정식	x=0 (y축)

 

▶ 증명

(1) (단, ) 인 포물선의 방정식

좌표평면에서 점 F(p, 0) ()을 초점으로 하고 직선 x=-p를 준선으로 하는 포물선의 방정식은

포물선 위의 임의의 점을 P(x, y) 라 하고 점 P 에서 준선에 내린 수선의 발을 H라 하면, 포물선의 정의에 의하여 이므로

양변을 제곱하여 정리하면

(단, )

 

(2) (단, ) 인 포물선의 방정식

좌표평면에서 점 F(0, p) ()를 초점으로 하고 직선 y=-p를 준선으로 하는 포물선의 방정식은

(1)에서의 포물선을 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면 위의 포물선이 된다. 즉, 에서 x 대신 y, y 대신 x를 대입하면 

 

이차함수와 포물선 포물선 만들기(활동) 포물선의 실생활 이용