쌍곡선의 방정식

■ 쌍곡선의 방정식

 

1. 쌍곡선의 정의

평면 위의 두 점 F, F’으로부터의 거리의 차가 일정한 점의 집합을 쌍곡선이라고 한다.

(1) 초 점 : 두 점 F, F’

(2) 꼭짓점 : 쌍곡선과 선분 FF’과의 교점 A, A’

(3) 주 축 : 선분 AA’

(4) 중 심 : 선분AA’의 중점

 

▶ 증명

두 점 을 초점으로 하고 그 두 점으로부터 거리의 차이 2a( )인 쌍곡선의 방정식은

쌍곡선 위의 임의의 점을 P(x, y) 라 하면

쌍곡선의 정의에 의하여 

⇒ 

양변을 제곱하여 정리하면

이라 놓으면

 

2. 쌍곡선의 방정식

쌍곡선	두 초점 F(c, 0), F'(-c, 0) 으로부터의 거리의 차가 2a인 쌍곡선의 방정식	두 초점 F(0, c), F'(0, -c) 로부터의 거리의 차가 2b인 쌍곡선의 방정식
방정식 (표준형)	(단, , )	(단, , )
그래프
거리의 차 (=주축의 길이)
꼭짓점	(a, 0), (-a, 0)	(0, b), (0, -b)
초점의 좌표	(c, 0), (-c, 0) (단, )	(0, c), (0, -c) (단, )
점근선의 방정식

 

3. 정리

(1) 쌍곡선은 두 점으로부터의 거리의 차가 일정한 점들의 집합

(2) 쌍곡선 위의 점 P에서 두 초점 F, F'까지의 거리의 차는 주축의 길이와 같다.

⇒ (거리의 차) = (주축의 길이)

⇒ 우변이 1이면 초점, 장축은 모두 x축 위에 있다.

⇒ 우변이 -1이면 초점, 장축은 모두 y축 위에 있다.

쌍곡선의 활용(실생활 이용)